Bedingte Wahrscheinlichkeit: Alkoholsünder

Question

Aufgabe:

In der Faschingszeit werden Autofahrer nachts zur Alkoholkontrolle gebeten. Erfahrungsgemäß sind unter den kontrollierten Autofahrern 10% "Alkoholsünder" (d.h. Autofahrer, deren Alkoholgehalt im Blut 0,5 Promille oder mehr beträgt). Ein Schnelltest soll klären, ob der Alkoholgehalt im Blut des kontrollierten Autofahrers zu hoch ist. Dieser Test irrt sich bei Alkoholsündern mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%. Der Test irrt sich bei Autofahrern, die keine Alkoholsünder sind, mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%. Ein Autofahrer wird kontrolliert.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Alkoholtest positiv ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Alkoholsünder handelt, obwohl der Alkoholtest negativ ist?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis falsch ist?

Problem/Ansatz:

Leider habe ich zu dieser Aufgabe keine Lösungen, daher meine Frage. Stimmen meine Ergebnisse?

Answer 1

Aloha :)

Das ist eine Aufgabe mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die sind sehr fummelig. Deswegen empfehle ich dir, die ganzen Informationen aus dem Text zunächst in einer sogenannten "4-Felder-Tafel" zu visualisieren. Ich schreibe die Tabelle erstmal hin und erkläre danach, wie sie zustande kommt:

	Fahrer besoffen	Fahrer nüchtern
Test zeigt besoffen	8	9	17
Test zeigt nüchtern	2	81	83
	10	90	100

1) Es gibt 2 Zustände für die Fahrer, "besoffen" und "nüchtern". [siehe Spalten]

2) Es gibt 2 Zustände für den Test, "zeigt besoffen" und "zeigt nüchtern". [siehe Zeilen]

3) Von 100 Fahrern sind erwartungsgemäß 10 besoffen, also 90 nüchtern. [unterste Zeile]

4) Bei Alkoholsündern irrt sich der Test zu 20%. Von den 10 Besoffenen werden also 8 als besoffen erkannt und 2 als nüchtern. (Fehrer-besoffen-Spalte)

5) Bei den Nüchtern-Fahrern irrt sich der Test zu 10%. Von den 90 Nüchtern-Fahrern werden also 9 als besoffen erkannt und 81 als nüchtern (Fahrer-nüchtern-Spalte)

6) Jetzt kannst du noch die letzte Spalte vervollständigen.

Daraus kannst du jetzt alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten ablesen:

a) In 17 von 100 Fällen zeigt der Test besoffen, macht \(\frac{17}{100}\) Wahrscheinlichkeit.

b) In 83 Fällen zeigt der Test nüchtern, obwohl 2 Besoffene dabei sind, macht \(\frac{2}{83}\) Wahrscheinlichkeit.

c) In 9+2=11 von 100 Fällen liegt der Test falsch, macht \(\frac{11}{100}\) Wahrscheinlichkeit.

Comments

Danke für deine Antwort! Könntest du dir mal ein Kommentar bei Der_Mathecoach angucken? Habe eine Frage noch gestellt. Danke Im Voraus :)

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Bei (b) musst du durch \(P(\overline B)\) dividieren, nicht durch \(P(B)\). Du müsstest also nicht durch \(0,17\), sondern durch \(0,83\) dividieren.

Zum Verständnis:

$$P(A|\overline B)=\frac{P(A\cap\overline B)}{P(\overline B)}\quad;\quad P(\overline B|A)=\frac{P(A\cap\overline B)}{P(A)}$$$$\Rightarrow P(A|\overline B)\cdot P(\overline B)=P(A\cap\overline B)=P(\overline B|A)\cdot P(A)$$$$\Rightarrow P(A|\overline B)=\frac{P(A)}{P(\overline B)}\cdot P(\overline B|A)$$

Answer 2

Zunächst darf man sich gerne immer eine Vierfeldertafel notieren. Hier meine Version.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Alkoholtest positiv ist?

17%

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Alkoholsünder handelt, obwohl der Alkoholtest negativ ist?

2,41%

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis falsch ist?

0,02 + 0,09 = 0,11 = 11%

Comments

Danke für deine Antwort.

Zur b) Satz von Bayes wäre falsch? Gilt der Satz von Bayes nur bei P(A|B) und P(B|A)?

Bei der c) habe ich meinen Fehler erkannt.

Wenn ich jetzt P(A ∩ nB) = P(nB|A) * P(A)

Wieso ist das so?

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Wie würde P(nA ∩ B) und  P(nA ∩ nB) ausschauen?

Answer 3

	Alk.	n. Alk	∑
T pos.	8%	9%	17%
T neg.	2%	81%	83%
∑	10%	90%	100%

a) stimmt

b) P( "Alk" ∩ "Test n." ) / P( "Test n." ) = 0.02 / 0.83 ≈ 0.024

c) siehe VFT bzw. die AW von Mathecoach.