Aloha :)
Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie sich ein System, das mehrere Zustände annehmen kann, im Laufe der Zeit entwickelt. Hier hast du 2 mögliche reine Zustände, also einen 2-dimensionalen Zustandsvektor, und startest mit dem reinen Zustand \(v_0=\binom{1}{0}\). Der andere reine Zustand ist \(\binom{0}{1}\). In der Übergangsmatrix trägt man nun in der ersten Spalte ein, wie sich der reine Zustand \(\binom{1}{0}\) im nächsten Schritt entwickeln wird und in die zweite Spalte kommt rein, wie sich der reine Zustand \(\binom{0}{1}\) im nächsten Entwicklungsschritt ändern wird. Aus dem reinen Zustand \(v_0=\binom{1}{0}\) wird ein Mischzustand, denn:
$$\vec v_1=\left(\begin{array}{c}0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0,4\\0,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)$$
Dieser Mischzustand entwickelt sich im zweiten Schritt nun gemäß seiner Anteile, also 0,6-mal Reinzustand \(\binom{1}{0}\) und 0,2-mal Reinzustand \(\binom{0}{1}\) weiter:
$$\vec v_2=\left(\begin{array}{c}0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)=0,6\cdot\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)+0,2\cdot\left(\begin{array}{c}0,4\\0,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,44\\0,28\end{array}\right)$$
Wenn man solche Berechnungen sehr oft wiederholt, kann es sein, dass sich der Mischzustand nicht mehr ändert. Dann hat man einen Gleichgewichtszustand gefunden, in dem das System stabil ist.
