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Also zu zeigen ist: limnnn=1\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Ich habe in einem Analysis-Lehruch folgenden Beweis gefunden, der leider etwas zu kryptisch gehalten ist:

Beweis:

Man setze xn : =nn1x_n:=\sqrt[n]{n}-1. Dann erhält man durch binomische Entwicklung:n=(1+xn)n>1+(n2)xn2n1>n(n1)2xn2xn<2nlimnxn=0n=(1+x_n)^n>1+\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}x_n ^2 \Rightarrow n-1>\frac{n(n-1)}{2}x_n^2 \Longrightarrow x_n<\sqrt{\frac{2}{n}} \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} x_n =0 und damit limnnn=1\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

Fragen:

• Warum folgt denn aus xn<2n x_n<\sqrt{\frac{2}{n}}, dass limnxn=0\lim\limits_{n\to\infty} x_n =0?

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Beste Antwort

2n \sqrt{\frac{2}{n}} ist einfach nur eine obere Abschätzung der Folge x_n, also xn<2n x_n < \sqrt{\frac{2}{n}} , was davor gezeigt wurde. Offenbar gilt ja limn2n=0 \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2}{n}}=0 .Demnach folgt auch limnxn=0 \lim_{n \to \infty} x_n =0

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Eine Abschätzung wie xn<2nx_n< \sqrt{\frac{2}{n}} ist doch nicht hinreichend, oder? Man müsste das noch à la Sandwichsatz "einschnüren".

Wenn ich zeige, dass 1n1\frac{1}{n}≤1 heißt das doch auch nicht, dass 1n1\frac{1}{n} \to 1.

Warum sollte x_n monoton wachsen? Das tut sie wegen der Abschätzung eben nicht. Sie fällt monoton. Ja, da hast du schon Recht. Der Autor hätte wenigstens kurz erwähnen müssen, dass er 0 als untere Abschätzung für x_n benutzt. Das könnte man sich aber zB so überlegen:

Angenommen es gelte für ein n∈ℕ1 0>xn=nn1 0>x_n = \sqrt[n]{n}-1 . Dann ist 1>nn1>n 1>\sqrt[n]{n} \Leftrightarrow 1>n ein Widerspruch.

Also gilt auch 0xn 0 \leq x_n

Das schaut doch schon besser aus.

Das freut mich. :)

Danke und noch eine lehrreiche Nacht voller mathematischer Erkenntnisse.

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