Verständnisfrage zu Beweis, dass ⁿ√n → 1 für n→∞ gilt?

Question

Also zu zeigen ist: \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\).

Ich habe in einem Analysis-Lehruch folgenden Beweis gefunden, der leider etwas zu kryptisch gehalten ist:

Beweis:

Man setze \(x_n:=\sqrt[n]{n}-1\). Dann erhält man durch binomische Entwicklung:$$n=(1+x_n)^n>1+\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}x_n ^2 \Rightarrow n-1>\frac{n(n-1)}{2}x_n^2 \Longrightarrow x_n<\sqrt{\frac{2}{n}} \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} x_n =0$$ und damit \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\).

Fragen:

• Warum folgt denn aus \( x_n<\sqrt{\frac{2}{n}}\), dass \(\lim\limits_{n\to\infty} x_n =0\)?

Answer 1

$$ \sqrt{\frac{2}{n}} $$ ist einfach nur eine obere Abschätzung der Folge x_n, also $$ x_n < \sqrt{\frac{2}{n}} $$, was davor gezeigt wurde. Offenbar gilt ja $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2}{n}}=0 $$.Demnach folgt auch $$ \lim_{n \to \infty} x_n =0 $$

Comments

Eine Abschätzung wie \(x_n< \sqrt{\frac{2}{n}}\) ist doch nicht hinreichend, oder? Man müsste das noch à la Sandwichsatz "einschnüren".

Wenn ich zeige, dass \(\frac{1}{n}≤1\) heißt das doch auch nicht, dass \(\frac{1}{n} \to 1\).

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Warum sollte x_n monoton wachsen? Das tut sie wegen der Abschätzung eben nicht. Sie fällt monoton. Ja, da hast du schon Recht. Der Autor hätte wenigstens kurz erwähnen müssen, dass er 0 als untere Abschätzung für x_n benutzt. Das könnte man sich aber zB so überlegen:

Angenommen es gelte für ein n∈ℕ₁ $$ 0>x_n = \sqrt[n]{n}-1  $$. Dann ist $$ 1>\sqrt[n]{n} \Leftrightarrow 1>n $$ ein Widerspruch.

Also gilt auch $$ 0 \leq x_n $$

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Das schaut doch schon besser aus.

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Das freut mich. :)

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Danke und noch eine lehrreiche Nacht voller mathematischer Erkenntnisse.