Ableitung Funktionsschar

Question

Aufgabe:

Ich suche die Ableitung von

f(x): 1/x - t/x²

Problem/Ansatz:

Meine Ideen:

1. Summenregel

1/x abgeleitet / - 1/x²

2. t/x² habe ich bereits mit der Kettenregel versucht wobei ich t/ s als äussere Funktion gewählt habe und x² als innere, dann erhalte ich 2t/ x², was nicht stimmt

Danach habe ich versucht den Term mit e auszudrücken, aber erhalte irgendwie auch nichts schlaues.

Wie gehe ich da am besten vor und wann genau sollte ich eine Exponentialfunktion mit e ausrücken und wann besser nicht?

Vielen Dank

Answer 1

Verwende;

1/x = x^(-1)

t/x^2 = t*x^(-2)

Answer 2

Klammere den Faktor t aus und benutze die Potenzregel:

\(f'(x) = \left[\dfrac{1}{x}\right]' - \left[\dfrac{t}{x^2}\right]' \\ = -\dfrac{1}{x^2} -t \cdot \left[\dfrac{1}{x^2}\right]' \\ = -\dfrac{1}{x^2} -t \cdot \left( -\dfrac{2}{x^3}\right) \\ = \dfrac{2t}{x^3} -\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2t-x}{x^3}\)

Answer 3

Danach habe ich versucht den Term mit e auszudrücken

In welchem Zusammenhang?, brauchst Du doch hier nicht?

Answer 4

Aloha :)

Das \(t\) ist ein sog. Parameter, d.h. der Wert von \(t\) kann frei gewählt werden, ist aber dann fest. Daher kannst du \(t\) wie eine Konstante behandeln. Die Ableitung berechnest du dann sehr effizient mittels der Potenzregel: \((x^n)'=nx^{n-1}\). Konkret bedeutet dies:

$$\left(\frac{1}{x}-\frac{t}{x^2}\right)'=\left(x^{-1}-t\,x^{-2}\right)'=-x^{-2}-t\cdot(-2)x^{-3}=-x^{-2}+2tx^{-3}$$$$\phantom{\left(\frac{1}{x}-\frac{t}{x^2}\right)'}=-\frac{1}{x^2}+\frac{2t}{x^3}$$