Du suchst ein Gleichungssystem, dessen Lösung ein zweidimensionaler Unterraum ist.
Zunächst überlegst du dir, wieviele Gleichungen dieses System haben muss.
Hast du gar keine Gleichung (oder meinetwegen die Gleichung 0 = 0), so unterliegen die Lösungsvektoren keiner Einschränkung, der ganze n-dimensionale Vektorraum (bei dir : n = 3) ist Lösungsraum.
Mit einer Gleichung gibt es eine Einschränkung, der Lösungsraum wird eine Dimension kleiner, er ist dann (n-1)-dimensional (bei dir also 2-dimensional).
So geht es weiter, mit jeder zusätzlichen neuen (d.h. zu den bisherigen unabhängigen) Gleichung wird der Lösungsraum wieder um eine Dimension kleiner, bis man schließlich bei n Gleichungen die Dimension 0 erreicht hat, also den sog. Nullraum, der nur noch aus dem Nullvektor o besteht.
Dieser Nullvektor ist natürlich Element jedes Raumes, also auch jedes Lösungsraumes, es kommen also immer nur Gleichungen der Form a1·x1 + ... + an·xn = 0 infrage, aber niemals solche wie .... = c mit c ≠ 0 .
Du suchst also eine Gleichung a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 = 0 , bei der deine beiden Vektoren Lösungen sind, also suchst du solche Koeffizienten a1, a2 und a3, dass
a1·1 + a2·3 + a3·2 = 0 und a1·0 + a2·3 + a3·1 = 0 wird. Löse dieses Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.
Eine Lösung ist die angegebene a1 = 3, a2 = 1, a3 = -3, alle weiteren Lösungen sind Vielfache davon, z.B. a1 = -4,5, a2 = -1,5, a3 = 4,5
Geometrisch anschaulich suchst du die Gleichung einer Ebene in Koordinatenform, die durch die beiden Richtungsvektoren deines Lösungsraumes aufgespannt wird.
Bei dieser Ebene sind die Koeffizienten a1, a2 und a3 die Koordinaten eines Normalenvektors (eines Vektors der senkrecht auf der Ebene steht, dessen Länge und Richtung aber nicht festgelegt sind), den man z.B. wie oben beschrieben oder auch mit der mathematischen Operation "Kreuzprodukt" berechnen kann.
