Dürfen Vektoren irrationale Koordinaten besitzen?

Question

 

ich frage mich, ob Vektoren irrationale Koordinaten besitzen dürfen.

Beispielsweise ein Vektor mit den Koordinaten x = Wurzel 29, y = 0, z = 0, geht das?

Comments

Sie dürfen auch reelle Koordinaten haben.

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Die Koordinaten eines Vektors können immer nur Elemente des dem Vektorraum zugrunde liegenden Körpers sein. Wenn dieser Körper ℚ ist, dann kann es keine irrationalen Koordinaten geben.

Answer 1

Aber natürlich. Meinst du eine Gerade besteht nur aus rationalen Koordinaten?

Wenn ich die x-Achse durch eine Gerade im Zweidimensionalen Raum schreiben will, kann ich die Gerade in Parameterform mit Vektoren aufstellen. Dabei kann dann sowohl der Orts- als auch der Richtungsvektor und auch der Parameter aus irrationalen bestehen.

Weiterhin kann man Vektoren auf die Länge 1 Normieren. Dabei ist es auch manchmal nötig, die Koordinaten mit irrationalen Zahlen zu schreiben.

Answer 2

Ja, Vektoren dürfen das. Warum zweifelst du?

Answer 3

Allgemein: Vektoren werden addiert, indem man einzene Koordinaten addiert; analog skalar-multipliziert.

Einsetzen darfst Du also alles, was addiert oder (mit einem Skalar) multipliziert werden darf, also jede beliebige Zahl (reell oder komplex), aber auch beliebige Terme, Funktionen, Matrizen und vieles andere.

Diese Frage lässt sich verallgemeinern: Was darf irgendwo anders eingesetzt werden?

Das geht immer dann, wenn die entsprechenden Operatoren erlaubt sind (das musst Du jeweils überprüfen, ob)

Bsp.: Was darf in ein beliebiges Polynom eingesetzt werden?

3x^2+x

x wird hier addiert, skalar-multipliziert und potenziert. Welche Strukturen erlauben das auch?

* Natürlich jede beliebige Zahl.

* Jeder beliebige Term.

* Vektoren nicht, weil sie zwar addiert und skalar-multipliziert, aber nicht potenziert werden dürfen.

* Jede beliebige Funktion.

* Jede Matrix darf skalar-multipliziert werden, addiert aber nur, wenn sie gleich groß, und potenziert  sogar nur, wenn sie quadratisch sind, also darfst Du nur quadratische Matrizen einsetzen.

Usw. usw. usw.

Answer 4

Fast alle Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) der Länge 1 haben irrationale Koordinaten. Denn für sie muss gelten x²+y² =1.