Termumformung beim Induktionsbeweis

Question

Hallo Mathelounge!

Folgendes Problem: Bei einem Induktionsbeweis aus einer alten Klausur wird die folgende Gleichung
$$\frac{k^{(m+1)}* (1 + (k - 1))}{k-1} - \frac{1}{k-1}$$
umgeformt in
$$\frac{k^{(m+1)} + (k-1)*k^{(m+1)}}{k-1} - \frac{1}{k-1}$$

Durch überprüfen ist es zwar ersichtlich, dass die Gleichung äquivalent ist unter den selben Belegungen, allerdings ist mir leider noch nicht ersichtlich, wie man so eine Art von Umformung vornimmt, ich weiß leider auch nicht den nötigen "Begriff" um mir das Wissen bzw. diese spezifische Rechenregel selbst suchen zu können.
Besonders, dass noch die zweite Potenz hinzukommt ist mir nicht ersichtlich.

Vielen Dank für alle Hinweise!

Answer 1

Aloha :)

Distributivgesetz \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)

$$\underbrace{k^{m+1}}_{a}\cdot\left(\underbrace{1}_b+\underbrace{(k-1)}_{c}\right)=\underbrace{k^{m+1}}_{a}\cdot\underbrace{1}_b+\underbrace{k^{m+1}}_{a}\cdot\underbrace{(k-1)}_{c}$$$$=k^{m+1}+(k-1)\cdot k^{m+1}$$

Answer 2

Das ist das Distributivgesetz: \(\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).
Wähle nun \(\displaystyle a=k^{m+1}, b=1, c=k-1\).