Antwort mit KI erzeugt
Kombinatorik Eier sollen versteckt sein
Beginnen wir mit jeder Teilaufgabe einzeln und lösen diese Schritt für Schritt.
a) Genau 2 rote versteckt werden sollen
Um genau 2 rote Eier zu verstecken, haben wir 7 Verstecke, die wir auswählen müssen. Die Anzahl der Möglichkeiten, diese 2 Plätze aus 7 zu wählen, ergibt sich aus der Kombinatorik als "7 über 2". Nachdem die roten Eier platziert sind, bleiben 5 Eier (gelb oder blau gemischt), die in den verbleibenden 5 Plätzen platziert werden können. Dies kann auf jede beliebige Weise erfolgen.
Für die Plätze der roten Eier:
\(
C(7,2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7*6}{2*1} = 21
\)
Für die verbleibenden 5 Plätze:
Da die Eier alle als unterschiedliche Objekte betrachtet werden können (wegen der unterschiedlichen Farben und der Annahme, dass blaue und gelbe Eier nicht differenziert werden müssen oder in unbegrenzter Anzahl vorhanden sind), sehen wir uns lediglich an, wie viele Arten sie auf die 5 Plätze verteilt werden können, was \(5!\) wäre, wenn sie unterscheidbar sind. Da sie jedoch ununterscheidbar sind und nur die Anordnung der roten Eier zählt, ist dieser Teil nicht weiter relevant.
Also gibt es \(21\) Möglichkeiten, genau 2 rote Eier zu verstecken.
b) Genau 2 rote nebeneinander versteckt werden sollen
Um 2 rote Eier nebeneinander zu verstecken, betrachten wir die beiden roten Eier als ein einziges Objekt. Es gibt also 6 Stellen, an denen dieses Paar platziert werden kann (da die Eier nebeneinander sein müssen und wir 7 Verstecke haben):
Für die Platzierung des roten Paares:
\(
6
\)
c) Genau 2 rote nicht nebeneinander versteckt werden sollen
Wenn die roten Eier nicht nebeneinander versteckt werden dürfen, nutzen wir das Ergebnis aus Teil a) und subtrahieren die Möglichkeiten aus Teil b):
\(
21 - 6 = 15
\)
Das sind also \(15\) Möglichkeiten.
d) Genau 2 rote nicht nebeneinander versteckt werden sollen und auf ein rotes stets ein blaues folgt
Wenn jedes rote Ei von einem blauen gefolgt werden muss und sie nicht nebeneinander sein dürfen, müssen wir bedenken, dass jedes gesetzte rote Ei seinen Platz definiert und einen weiteren notwendigen Platz für das blaue. Dies verringert effektiv die Plätze, wo das nächste rote Ei sein kann. Ohne eine genaue Berechnung ist klar, dass die Anzahl stark eingeschränkt wird. Für 2 nicht nebeneinander liegende rote Eier haben wir festgestellt, dass es 15 Möglichkeiten gibt. Sobald jedoch ein rotes Ei platziert wird, verbraucht es effektiv 2 Plätze (einen für sich und einen für das folgende blaue Ei). Dieses spezifische Szenario erfordert eine genauer angepasste Berechnung, welche die Abhängigkeit zwischen den roten und blauen Eiern berücksichtigt. Basierend auf den Regeln, könnten wir paare von roten und blauen Eiern bilden und dabei beachten, dass zwischen diesen Paaren oder einem Paar und einem einzelnen blauen Ei mindestens ein anderes Ei liegen muss. Diese genaue Berechnung wäre komplex und hängt stark von den erwähnten Einschränkungen ab.
e) Auf ein rotes stets ein blaues folgen soll
Wir nehmen wieder an, dass rote und blaue Eier als Paare auftreten. Wenn jedes rote Ei von einem blauen gefolgt sein soll, gibt es für 2 rote und deren blaue Begleiter (also 2 Paare), eingeschränkte Platzierungsoptionen, vor allem, weil die Reihenfolge innerhalb jedes Paares fest ist. Das lässt uns weniger mit der Aufgabe der Verteilung dieser Paare oder Gruppen zwischen anderen Eiern, die diese Bedingung nicht erfüllen müssen.
f) Genau 3 rote und genau 2 gelbe versteckt werden sollen
Verstecken von 3 roten und 2 gelben Eiern aus insgesamt 7 Plätzen bedeutet, dass die restlichen 2 Eier blau sein müssen. Für die Kombination der roten und gelben Eier:
\(
C(7,3) * C(4,2) = \frac{7!}{3!(7-3)!} * \frac{4!}{2!(4-2)!} = 35 * 6 = 210
\)
g) Genau 3 rote und mindestens 2 gelbe versteckt werden sollen
Für mindestens 2 gelbe, könnten wir die Situationen betrachten, wo genau 2 gelbe und 3 rote (wie in f) und dann die mit 3 gelben und 3 roten (der siebte wäre blau). Die Anzahl aus f) wurde bereits berechnet (210).
Für genau 3 Gelbe (dann haben wir genau 3 Rote und genau 3 Gelbe und 1 Blaues), wäre es:
\(
C(7,3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = 35
\)
Plus die \(210\) aus f) für genau 2 Gelbe gibt uns \(245\) als Gesamtanzahl.
Während bei einigen Teilaufgaben eine umfassende Lösung gegeben wurde, erfordern andere, insbesondere Teil d) und e), eine spezifischere oder komplexere Bearbeitung, die die gegebenen Bedingungen genauer berücksichtigt.
