Momentane und mittlere Änderungsrate

Question

Aufgabe: Textaufgabe

Bei einem Raketenstart wurde die Höhe h der Rakete über dem Erdboden in Abhängigkeit von der Zeit t seit dem Start aufgezeichnet.

a. Welche Höhe hat die Rakete 15sek nach dem Start erreicht?

b. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit in den Zeitintervallen [0;15], [5;15],

c. Erläutere wie man die Momentangeschwindigkeit der Rakete 15sek nach dem Start näherungsweise bestimmen kann.

d. Skizziere den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion dieses Startvorgangs.

Anbei den zugehörigen Graphen.

Problem/Ansatz:

Bin mir unsicher darüber wie ich mit der Aufgabe beginnen soll.

für die Hilfe.

Comments

Falls noch von Interesse
Über 3 ausgewählte Punkte kann zuerst die
Funktionsgleichung der Parabel ermittelt werden.
Dann können die anderen Fragen
beantwortet werden.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

mfg Georg

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Danke für die Antwort.

Wie würde ich das dann hier bei dieser Aufgabe machen? Also welche Punkte würde ich zum Beispiel am besten nehmen?

Answer 1

Öffnungsfaktor der Parabel

a = 920/20^2 = 2.3

f(x) = 2.3·x^2

Skizzieren

~plot~ 2.3*x^2;[[0|22|0|1000]] ~plot~

a. Welche Höhe hat die Rakete 15sek nach dem Start erreicht?

f(15) = ...

b. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit in den Zeitintervallen [0;15], [5;15]

(f(15) - f(0)) / (15 - 0) = ...

(f(15) - f(5)) / (15 - 5) = ...

c. Erläutere wie man die Momentangeschwindigkeit der Rakete 15sek nach dem Start näherungsweise bestimmen kann.

(f(15.01) - f(15)) / (15.01 - 15) = ...

d. Skizziere den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion dieses Startvorgangs.

f'(x) = 4.6·x

~plot~ 4.6*x;[[0|22|0|100]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die ausführliche und hilfreiche Antwort.

Eine Frage noch: warum genau wird bei dem Öffnungsfaktor der Parabel 920/20^2 gerechnet, also woher kommt hier das ^2 her?

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Ich sehe das (0 | 0) der Scheitelpunkt ist und etwa (20 | 920) ein Punkt auf der Parabel. Dann gilt für den Öffnungsfaktor

a = Δy / Δx² = (920 - 0) / (20 - 0)²

Das ist recht nützlich wenn man das weiß. Das Quadrat hängt damit zusammen das wenn man bei einer Normalparabel vom Scheitelpunkt x Einheiten nach rechts geht muss man x² Einheiten noch oben gehen.

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Okay das ist verständlich.

Zu Aufgabe b ist es hier richtig, wenn bei dem ersten Intervall ein Wert von von 34.5 rauskommt oder habe ich mich hierbei verrechnet?

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34.5 stimmt vom Wert Vergiss die Einheit nicht. Vermutlich m/s.

Answer 2

Wie würde ich das dann hier bei dieser Aufgabe machen? Also welche Punkte würde ich zum Beispiel am besten nehmen?

Prinzipiell kann man 3 beliebige Punkte nehmen.
Vielleicht empfehlenswert ist der min-, max und der
Punkt in der Mitte.
Ich habe die Punkte
( 0 | 0 )
( 10 | 230 )
 15 | 520 )
genommen.
Eine gewisse Ungenauigkeit beim Ablesen ist
immer gegeben
Die allgemeine Formel für eine Parabel ist
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

Standardvorgehen bei der Berechnung
Punkte einsetzen
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 0 => c = 0
f ( 10 ) = a * 10^2 + b * 10 + 0 =  230
f ( 15 ) = a * 15^2 + b * 15 + 0 =  520

100 * a  + 10 * b =  230
225 * a  + 15 * b =  520
Ausrechnen.

Ergebnis
a = 7/3
b = -1/3

f ( x ) = 7/3 * x^2 - 1/3 * x

Frag´ nach bis alles klar ist

Comments

Danke für die Antwort, klingt alles voll logisch.

Aber wodurch kommt es denn dann jetzt, dass ich zwei unterschiedliche Parabelgleichungen bekommen habe, bei der anderen fehlt ja das bx im Gegensatz zu deiner.

Macht das denn allgemein einen Unterschied oder meinen beide dasselbe?

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Hier mal die beiden Graphen im Vergleich

~plot~ 2.3x^2;7/3*x^2-1/3*x;[[-0.2|20|-10|900]] ~plot~

Du siehst es macht eigentlich keinen Unterschied.

Weiterhin glaube ich die Aufgabe sollte gänzlich ohne einen Funktionsterm rein graphisch gelöst werden.

D.h. über Sekanten und Tangentenzeichnungen an den Graphen.

Von daher kannst du das Zeichnen von Sekanten und Tangenten nochmal üben und versuchen auch die Aufgabe darüber zu lösen. Du solltest auf die gleichen Ergebnisse kommen.

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Nur um mir einen Spaß zu erlauben kannst du ja mal bei den beiden Funktionen den Funktionswert an der Stelle -0.1 berechnen und die Ergebnisse interpretieren.

Answer 3

Der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion f(t)=20/9·t² musste ich aus deinem Graphen schließen. Vermutlich war sie gegeben und du hast den Graphen danach gezeichnet:

a. Welche Höhe hat die Rakete 15sek nach dem Start erreicht?  f(15)=20/9·15²=500 m

b. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit in den Zeitintervallen [0;15], (f(15)-f(0))/(15-0)=500/15=100/3 m/sec

[5;15], (f(15)-f(5))/(15-5)=400/9 m/sec

c. Erläutere wie man die Momentangeschwindigkeit der Rakete 15sek nach dem Start näherungsweise bestimmen kann.

Ableiten f'(t)=40/9·t; t=15 einsetzen: 40/9·15=200/3 m/sec

d. Skizziere den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion dieses Startvorgangs.

Zeichne die Gerade mit der Gleichung y=40/9·t

Comments

Bei einem Raketenstart wurde die Höhe h der Rakete über dem Erdboden in Abhängigkeit von der Zeit t seit dem Start aufgezeichnet.

Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion f(t)=20/9·t² musste ich aus deinem Graphen schließen. Vermutlich war sie gegeben und du hast den Graphen danach gezeichnet:

Vermutlich eher nicht.