Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f : R -> R mit f(x) =  1\4 • x² - x + 1
i) Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x) im Intervall [1;1, 5].
ii) Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x) im Intervall [-4; -2].
iii) Berechne die mittlere Änderungsrate von f(2) im Intervall [-4; +2].
iv) Berechne die Funktionsgleichung der Sekante durch die Punkte (-4|f (-4)) und (+2|f (+2)).
v) Nähere die momentane Änderungsrate von f(x) an der Stelle x= 3 an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe bei den Aufgaben i) - v) wie man vorgehen und berechnen soll. Brauche eine Erklärung.

Danke im Voraus.

Answer 1

i) Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x) im Intervall [1;1, 5].

m= (f(1,5)-f(1)/( 1,5-1)

ii) Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x) im Intervall [-4; -2].

iii) Berechne die mittlere Änderungsrate von f(2) im Intervall [-4; +2].

analog wie i)

iv) Berechne die Funktionsgleichung der Sekante durch die Punkte (-4|f (-4)) und (+2|f (+2)).

s(x) = m*x+b

m= (f(+2)-f(-4))/ (2 -(-4)) = ...

Dann einen Punkt einsetzen und b bestimmen.

(v) Nähere die momentane Änderungsrate von f(x) an der Stelle x= 3 an.

f '(3) = ...

Comments

Beispiel (iii) ist keineswegs analog zu (i) !

(Aufgabe exakt lesen !)

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Wieso nicht?

Das Intervall ist 2-(-4) = 6 Einheiten

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Der Einwand von rumar ist berechtigt. Die Intervallbreite spielt dabei gar keine Rolle.

Aufgabe exakt lesen.

(Auch wenn es sich vermutlich nur um einen Schreibfehler handelt.)

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Hast du bemerkt, dass da steht:

"mittlere Änderungsrate von f(2)"

und nicht:

"mittlere Änderungsrate von f(x)"

Zu rechnen bleibt also:   

\( \frac{f(2)-f(2)}{(+2)-(-4)} \) = \( \frac{0}{6} \)  = 0

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Das muss sicher f(x) lauten.

Mit einem Punkt kann man keine mittlere Ä. berechnen, oder?

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Möglicherweise war f(x) gemeint, aber geschrieben wurde f(2).

Die Zuordnung    g : [-4 .. 2]  →  ℝ   mit   g(x) := f(2)  für alle x in  [-4 .. 2]

wäre aber selbstverständlich auch eine bestens definierte, nämlich konstante Funktion.

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Achso stimmt, tut mir leid, es sollte dort f(x) stehen. Mein Fehler :) Und danke für eure Antworten.

Answer 2

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f über einem Intervall [a,b] entspricht der Steigung einer linearen Funktion (Gerade), welche an den Intervallenden mit der Funktion f übereinstimmt, also

(f(b)-f(a)) / (b-a)

Die momentane Änderungsrate einer Funktion an einer (inneren) Stelle a ihres Definitionsbereiches entspricht dem Grenzwert der mittleren Änderungsraten für den Fall, dass man diese für Intervalle [a,b] betrachtet und dann den Randpunkt b gegen a streben lässt.

Ist f an der Stelle a differenzierbar, so ist dann diese momentane Änderungsrate gleich dem Wert der Ableitung  f' an der Stelle a,  also gleich  f'(a) .

Noch eine Bemerkung zum obigen Beispiel (iii) :  Dort ist (falls da kein Druckfehler in der Frage steckt) das Ergebnis natürlich gleich null !!