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Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
Um Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Teilmengen von \(\mathbb{R}\) zu bestimmen, betrachten wir jede Teilmenge separat:
a) \(A=\left\{\frac{1}{n+1}+\frac{1+(-1)^n}{2n} | n \in \mathbb{N}\right\}\)
Diese Folge generiert Werte, abhängig von \(n\), wobei \(n\) positive ganze Zahlen durchläuft. Da \(n\) nur positive Werte annimmt, müssen wir die Terme getrennt betrachten:
1. \(\frac{1}{n+1}\) nähert sich 0, wenn \(n\) gegen unendlich geht. Dieser Term ist immer positiv und nimmt mit steigendem \(n\) ab.
2. \(\frac{1+(-1)^n}{2n}\): Dieser Term oszilliert zwischen \(\frac{2}{2n} = \frac{1}{n}\), wenn \(n\) gerade ist, und \(\frac{0}{2n}=0\), wenn \(n\) ungerade ist.
Für gerade \(n\), haben wir also \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}\), und für ungerade \(n\), haben wir \(\frac{1}{n+1}+0=\frac{1}{n+1}\).
Das bedeutet, für ungerade \(n\), nähert sich der Wert von \(A\) mehr der 0 an, während für gerade \(n\), der Wert etwas größer ist, weil \(\frac{1}{n}\) hinzufügt wird.
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Minimum: Das Minimum kann direkt für \(n=1\) berechnet werden (lässt man ungerade \(n\) außer Acht, da für gerade \(n\) der Term größer ist), was der kleinste Wert im Definitionsbereich von \(n\) ist. Damit erhalten wir: \(A_{n=1} = \frac{1}{2}+\frac{1}{1}=1.5\).
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Maximum: Da die Folge mit steigendem \(n\) abnimmt, und der größte Wert bei \(n=1\) erreicht wird, ist dies auch das Maximum der Menge.
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Supremum: Das Supremum ist ebenfalls 1.5, da dies der größte Wert in der Menge ist und tatsächlich angenommen wird.
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Infimum: Da die Werte der Menge gegen 0 streben, ohne sie jemals zu erreichen (wegen des Terms \(\frac{1}{n+1}\)), ist das Infimum 0.
b) \(A=\left\{\frac{x^2-2}{x^2+1} | x \in \mathbb{R}\right\}\)
Um das Verhalten dieser Funktion zu untersuchen, leiten wir sie ab, um kritische Punkte zu bestimmen:
\(f'(x) = \frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-2)}{(x^2+1)^2}\)
Vereinfacht:
\(f'(x) = \frac{4x}{(x^2+1)^2}\)
Diese Ableitung ist 0 bei \(x=0\), was auf ein Extremum hinweist. Untersuchen wir den Grenzwert der Funktion, wenn \(x\) gegen unendlich strebt:
\(\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-2}{x^2+1} = 1\)
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Maximum: Für \(x=0\) ergibt die Funktion \(-2\), aber das ist offensichtlich nicht das Maximum, sondern das Minimum. Der größte Wert, den die Funktion annimmt, ist nahe 1, wenn \(x\) gegen \(\pm\infty\) geht. Also ist das Supremum 1.
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Minimum: Das Minimum ist, wie bereits erwähnt, \(-2\).
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Supremum und Infimum: Die Funktion nähert sich 1 von unten, wenn \(x\) gegen \(\pm\infty\) strebt, also ist das Supremum 1 und tatsächlich erreicht. Das Infimum ist \(-2\).
c) \(A=\left\{x \in \mathbb{R} | \exists y \in \mathbb{R}: (x+1)^2+5y^2<4\right\}\)
Diese Ungleichung definiert eine Ellipse um \((-1,0)\) mit den Halbachsen \(\sqrt{4}=2\) in \(x\)-Richtung und \(\sqrt{\frac{4}{5}}\) in \(y\)-Richtung.
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Maximum und Minimum für \(x\): Da die Ellipse in der \(x\)-Achse von \(x=-1-2\) bis \(x=-1+2\) reicht, ist das Maximum \(x_{max}=1\) und das Minimum \(x_{min}=-3\).
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Supremum und Infimum: Da sowohl das Maximum als auch das Minimum tatsächlich erreicht werden, sind das Supremum und das Infimum die gleichen Werte: das Supremum ist 1 und das Infimum ist -3.
