Kombinatorik - Stochastik

Question

Aufgabe:

Hallo liebe Mathe Community,

ich habe schon sämtliche Videos und was es so an Mathematerialien gibt x Stunden durchforstet, aber es hat leider immer noch nicht klick gemacht! :(

Es geht um folgende sich sehr ähneldnen Aufgaben:

Aufgabe 1:

Ein Hochhaus hat m Stockwerke, wobei das Erdgeschoss nicht mitzählt. Nun steigen n Personen im Erdgeschoss in einen Fahrstuhl ein und steigen in einer der m Stockwerken aus. Es geht um ein zufallsexperiment, welches diskret gleichverteilt ist.

Aufgabe 2:

In einem Netzwerk befinden sich n Drucker die durchnummeriert sind von {1, 2, ..., n} 1 bis n. Nun werden m Druckaufträge mit den Nummern 1 bis m zufällig gemäß einer diskreten Gleichverteilung an die Drucker verteilt.

Aufgaben 1:

a) Mit welcher Warscheinlichkeit steigt mindestens eine Person im ersten Stock aus?

b) Mit welcher Warscheinlichkeit steigen alle Personen im Stockwerk 2 aus?

c) Mit welcher Warscheinichkeit steigt keiner im 9ten Stockwerk aus?


Aufgaben 2:

a) Mit welcher Warscheinlichkeit bekommt Drucker 1 den Auftrag Nummer 1?

b) Mit welcher Warscheinlichkeit bekommt Drucker 1 keinen Auftrag?

c) Es kommen n = m Druckaufträge an. Mit welcher Warscheinlichkeit bekommt genau ein Drucker ale Aufträge?

Problem/Ansatz:

Das erste Problem was ich habe ist... wie reproduziere ich diese Fälle auf das Urnenmodell?
Des weiteren muss ich ja mit folgender Formel arbeiten: P(A) = |A| / |Q|
Oder liege ich das falsch? Also: alle günstigen Fälle / alle möglichen Fälle.

Und ich gehe davon aus, dass ich nicht die gegenbeispiele kenne:
Beispiel: Das Gegenteil von: mindestens eine Person steigt im ersten Stock aus -> gar keine Person steigt im ersten Stock aus.
Was nach der Formel dann folgendes wäre: P(A) = 1 - P(A^c)

Answer 1

a) Mit welcher Warscheinlichkeit steigt mindestens eine Person im ersten Stock aus?

Du ziehst aus einer Urne mit m Kugeln mit den Zahlen von 1 bis m n Kugeln mit zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mind. einmal die Kugel mit der 1 zu ziehen.

P = 1 - (1 - 1/m)^n

b) Mit welcher Warscheinlichkeit steigen alle Personen im Stockwerk 2 aus?

P = (1/m)^n

c) Mit welcher Warscheinichkeit steigt keiner im 9 ten Stockwerk aus?

P = (1 - 1/m)^n

Comments

Also spielt in solchen Beispiele Variation und kombinatorik keine Rolle? :/
Weil was ich daran nicht verstehe ist, das ich eig sowas wie:

(n)

(m)

erwarten würde, bzw. ich auch nicht verstehe wäre die günstigen Fälle "|A|" = 1 und die möglichkeiten "|Q|" = m?

Und mir bereitet es noch Probleme dabei auf die Reihenfolge zu achten, also ob es eine Kombination oder Variation ist..
Achtet man bei den Beispielen eig auf die Personen oder die Etagen? Also welches von beidem repräsentiert quasi die Kugeln?

---

Zunächst mal ist das eine Fragestellung zur Wahrscheinlichkeit. Dann kannst du zwar auch die Kombinatorik benutzen. Oft ist es aber einfacher einfach die 2 blöden Pfadregeln für Baumdiagramme und die Formel der Gegenwahrscheinlichkeit zu kennen.

ich auch nicht verstehe wäre die günstigen Fälle "|A|" = 1 und die möglichkeiten "|Q|" = m?

Wenn du m Stockwerke hast und darunter ist ein 1. Stock. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eben 1/m, dass eine beliebige Person im 1. Stock aussteigt.

1 - 1/m ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht im ersten Stock aussteigt.

Damit und mit den Pfadregeln mist du schon in der Lage die erste Aufgabe erfolgreich zu beantworten.

Achtet man bei den Beispielen eig auf die Personen oder die Etagen? Also welches von beidem repräsentiert quasi die Kugeln?

Ich habe dir diesbezüglich unter der Aufgabe das Urnenmodell notiert. Hast du das durchgelesen?

---

Ok, langsam macht es Klick.

Ich gehe mittlerweile jetzt so vor:
Aus m Elementen wurden n ausgewählt, dass heißt wir haben schon mal keine Permutation.

Nun geht es um die einzelnen Anordnungen der Elemente, dort unterscheiden wir zwischen Kombination und Variation, wenn wir annehmen würden, dass z.B. n = 7 und m = 8 entspreche, dann:

Wäre beispielsweise die 7te Person, die in der 8te Etage aussteigt, nicht dasselbe wie die 8te Person, die in die 7te Etage steigt.

=> Variation
Nun kommt die Frage auf, ob ein Element mehrfach belegt werden darf..
Ja, dies ist der Fall, weil mehrere Personen in einem Stockwerk aussteigen dürfen.

--> n^m

Anders wäre es, wenn wir dieselbige Situation hätten, der Fall nur dieses mal: Ein Gruppenleiter wählt von einer Gruppe unabhängig und zufällig aus 30 Personen, 10 Personen aus, die das Haus betreten sollen.
Nun hätten wir eine Variation und keine Kombination mehr, richtig?

Letzes Problem, welches ich habe ist nurnoch, wäre direkt die a!
Geht man dort von einer Gegenwarscheinlichkeit einer Gegenwarscheinlichkeit aus?

---

Genau. Das erkennst du daran das ich dort auch zweimal "1 - ..." benutzt habe.