Weisen Sie nach dass g(x) 1/x^2 im ersten und zweiten Quadranten liegt

Question

Aufgabe:

wie kann ich rechnerisch nachweisen, dass g(x) = 1/x² im ersten und im zweiten Quadranten liegt.

Des weiteren wäre es hilfreich wie ich ausrechne, das der Graph von g nur den Punkt P  (1/1) mit den Graphen f(x)=1/x gemeinsam hat.

Answer 1

es ist \(\lim\limits_{x\to\infty}g(x)\to 0\) und \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\to 0\) und \(1/x^2 >0\).

Setze \(f(x)=g(x)\) und löse nach \(x\). Es gilt für alle \(x\neq 0\):$$\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow 1=\frac{1}{x}  \Rightarrow x=1$$

Answer 2

In den beiden Quadranten gilt y>0. g(x)>0, da für alle x-Werte der Definitionsmenge x²>0 gilt.

Gemeinsame Punkte: f(x)=g(x), mit x² multiplizieren führt zu x=x² bzw. x²-x=0 oder x(x-1) =0.

Daraus folgt x=0 oder x=1. Da x nicht Element der Definitionsmenge ist, gilt x=1.

Answer 3

Aloha :)

Wenn eine Funktion nur im ersten und zweiten Quadranten liegt, verläuft sie oberhalb der \(x\)-Achse. Du sollst also zeigen, dass \(\frac{1}{x^2}>0\) ist. Da \(x^2>0\) für alle \(x\ne0\) ist auch der Kehrwert  \(\frac{1}{x^2}>0\) für alle \(x\ne0\). Für \(x=0\) ist die Funktion nicht definiert, weil man nicht durch \(0\) dividieren kann.

Den Schnittpunkt von \(\frac{1}{x^2}\) und \(\frac{1}{x}\) bekommst du durch Gleichsetzen der beidne Funktionen:

$$\left.\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}\quad\right|\;\text{Kehrwerte bilden}$$$$\left.x^2=x\quad\right|\;:x\;\text{, möglich, weil } x\ne0$$$$x=1$$Die Funktionen \(\frac{1}{x^2}\) und \(\frac{1}{x}\) schneiden sich daher bei \(x=1\). Der zugehörige Schnittpunkt ist \(P(1;1)\).