Zeige: Die Mengen U={f∈V|f(x)=f(-x) für alle x∈R}, W={g∈V|g(x) -g(-x) für alle x∈R} sind Unterräume von V.

Question

Zeigen, dass die 2 Mengen  U = {f∈V|f(x) = f(-x) für alle x∈R}, W = {g∈V|g(x) = -g(-x) für alle x∈R} Unterräume von V darstellen

V = Abb(ℝ,ℝ) und V ist der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen ℝ → ℝ

Sind diese 2 Mengen Unterräume von V ?

        U = {f∈V|f(x) = f(-x) für alle x∈R}
        W = {g∈V|g(x) = -g(-x) für alle x∈R}

Zeigen sie außerdem U∩W ={0} und U+W=V

Comments

Was meinst du mit dem 'plus' hier: U+W=V ?

Addition der beiden Mengen? Kann hier nicht die Vereinigungsmenge sein. Da wäre ja f(x) = x +1 gar nicht dabei. Man müsste, wenn schon, die Abbildungen aus U und W einzeln addieren dürfen.

U∩W ={0}

Hier müsstest du die '0-Abbildung' eigentlich noch definieren.

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U= {f∈ℝ^ℝΙf(x)= - f(x) für alle x∈ℝ}, V =ℝ^ℝ

Ich vermute, du hast hier einen Vorzeichenfehler abgeschrieben. Ein einzelnes Minus in der Fragestellung führt auf eine sehr kleine Menge von Funktionen.

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U= {f∈ℝ^ℝΙf(x)=f-(x) für alle x∈ℝ}, V =ℝ^ℝ

mensch klasse dass du das erkannt hast. jetzt müsste es stimmen. wie gehe ich vor?

LG

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Ich sehe leider immer noch nur ein Minus. Versuch das nochmals.

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da steht aber leider tatsächlich nur ein minus. angeblich ist es ein Unterraum ...

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Das Minus an deiner korrigierten Stelle macht nun leider absolut keinen Sinn.

Ich nehme an, dass es sich um eine der Teilaufgaben von https://www.mathelounge.de/65831/zeige-die-mengen-f∈v-alle-x∈r-g∈v-fur-alle-x∈r-sind-unterraume

handelt.

Deine ursprüngliche Fragestellung ist ja.

U= {f∈ℝ^ℝΙf(x)= - f(x) für alle x∈ℝ}, V =ℝ^ℝ

Aus f(x) = - f(x) folgt

2f(x) = 0 

f(x) = 0 für alle x. Das ist nur eine Funktion.

Somit U= {f∈ℝ^ℝΙf(x)=-f(x) für alle x∈ℝ} = U= {f∈ℝ^ℝΙ f(x)=0) für alle x∈ℝ}, V =ℝ^ℝ

Also ein Unterraum mit nur einem trivialen Element. Man kann 0 lange addieren oder mit einem Skalar multiplizieren. Da bleibt man bei f(x) für alle x Element R.

Answer 1

\(U\) ist die Menge aller Funktionen, deren Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist
und \(W\) ist die Menge aller Funktioenen, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung
ist.

1. \(U\) ist Unterrraum:

\(f,g\in U, \; c\in R\Rightarrow f(-x)=f(x), \; g(-x)=g(x)\),
also \((cf+g)(-x)=cf(-x)+g(-x)=cf(x)+g(x)=(cf+g)(x)\) für alle \(x\in R\).

2. \(W\) ist Unterraum:

\(f,g\in W, \; c\in R\Rightarrow f(-x)=-f(x), \; g(-x)=-g(x)\),
also \((cf+g)(-x)=cf(-x)+g(-x)=c(-f(x))+(-g(x))=-(cf+g)(x)\) für alle \(x\in R\).

3. \(U\cap W=\{0\}\):

\(f\in U\cap W\Rightarrow f(x)=f(-x)\wedge f(x)=-f(-x)\Rightarrow f(x)=-f(x)\Rightarrow f(x)=0\) für alle \(x\in R\).

4. \(U+W=V\):

Sei \(f\in V\). Definiere
\(g(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))\) und \(h(x)=\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))\).
Dann gilt \(g\in U\) und \(h \in W\) und \(f=g+h\).