Wann weiß ich, dass es einen Wendepunkt gibt oder nicht? f(x)= x^4 + x^2 + 4

Question

Aufgabe:

f(x)= x^4 + x^2 + 4

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist das diese Funktion keine Wendepunkte besitzt

Dazu müsste man bis zur der 3. Ableitung die Funktion ausrechnen die zweite Ableitung gleich null setzten und das Ergebnis dann in die 3 Ableitung einsetzten

Aber ich verstehe nicht woher ich weiß wann kein Wendepunkt vorhanden ist kann mir das vielleicht einer vorrechnen und mir erklären wo man das erkennt ? Dankeee

Comments

Welche NS der 2. Ableitung willst du denn in die 3. einsetzen?

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Wenn man die 2. Ableitung der Funktion ausrechnet und die Nullstellen auch kommt als Nullstellen

F“(X) = 12x^2 + 2x

Ein x ausklammern und so vorgehen

Nullstellen liegt bei 0

Oder irre ich mich da ?

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http://mathematik-wissen.de/wendepunkt.htm

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x^2 doppelt abgeleitet ergibt doch 2.

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Das habe ich mir auch angeguckt aber keine Hilfe. Ich  wollte Hilfe bei der Aufgabe als Beispiel

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f"=12x^2+2

Nullsetzen

12x^2+2=0

x^2=-1/6

Aus der negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen. Deswegen gibt es keine Wendepunkte.

Answer 1

F(x)= x⁴ + x² + 4

Zuerst kann man sehen, dass der Graph symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

F'(x)= 4x³ + 2x

F''(x)= 12x² + 2

Nun ist offensichtlich, dass F''(x) nirgends gleich 0 werden kann, da 12x² ≥ 0 und deshalb F''(x) = 12x² + 2 > 0  für alle x.

Da für einen Wendepunkt die zweite Ableitung gleich null sein müsste, kann dies offensichtlich bei der vorliegenden Funktion gar nicht vorkommen. Der Graph hat also keinen Wendepunkt, er ist eine durchwegs linksgekrümmte (U-förmige) Kurve.

Die dritte Ableitung war für diese Untersuchung gar nicht erforderlich.

Answer 2

Weißt du das y = x^4 dauernd linksgekrümmt ist? Könntest du den Graphen zeichnen?
Weißt du das y = x^2 auch dauernd linksgekrümmt ist? Könntest du den Graphen zeichnen?
Weißt du das y = 4 keine Krümmung hat.

Was weiß man jetzt über die Krümmung der Summe dieser drei Terme? Könnte sie irgendwo rechtsgekrümmt sein?

Answer 3

Aloha :)

Ein Polynom 0-ter (Konstante), 1-ter (Gerade) oder 2-ter (Parabel) Ordnung hat nie einen Wendepunkt.

Ein Polynom 3-ter Ordnung hat immer genau einen Wendepunkt.

Bei Polynomen noch höherer Ordnung wird es schwierig, ohne Rechnung zu erkennen, ob es Wendepunkte gibt oder nicht. Punktsymmetrie zum Ursprung (also nur ungerade Exponenten) ist noch ein sicheres Zeichen für einen Wendepunkt bei (0;0). Achsensymmetrie zur y-Achse (also nur gerade Exponenten) hingegen ist kein sicheres Ausschlusskriterium für einen Wendepunkt. Zum Beispiel hat dein Polynom \(x^4+x^2+4\) keinen Wendepunkt, aber das Polynom \(x^4-x^2+4\) besitzt 2 Wendepunkte, und beide Polynome sind achsensymmetrisch.