Zeige: Wenn 3a² gerade ist, dann ist auch a gerade.

Question

Aufgabe:

Für alle a element Z ist a gerade, falls 3a² gerade ist. Zeigen Sie diese Implikation durch einen direkten Beweis. Nutzen Sie hierzu, dass sich jede natürliche Zahl größer gleich 2 eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben lässt (Primfaktorzerlegung).

Ansatz:

3a² = 3 * 2 * p1 * p2 * ... * pn sollte die Primfaktorzerlegung sein. Die 3, weil es 3 * a² sind und die 2, weil jede gerade Zahl mindestens eine 2 in ihrer Primfaktorzerlegung enthält.

Probleme:

Ein paar Ansätze mit Widerspruch oder Kontraposition fielen mir ein, aber ein direkter Beweis mit Primfaktorzerlegung kommt mir nicht in den Sinn. Außerdem störe ich mich daran, dass die Primfaktorzerlegung nur für die natürlichen Zahlen angegeben ist. a ist allerdings auf Z definiert. a² wird natürlich sein, da jede Quadratzahl ja automatisch positiv sein muss, aber a könnte immernoch negativ sein, wodurch ich noch mehr ins Grübeln komme.

Answer 1

Aloha :)

Ein direkter Beweis mit Primfaktoren fällt mir auf Anhieb nicht ein, da müsste ich länger drüber nachdenken. Mit direktem Beweis würde ich das wie folgt zeigen.$$3a^2=6\frac{a^2}{2}=6\left(\frac{a^2+|a|}{2}-\frac{|a|}{2}\right)=6\left(\sum\limits_{k=1}^{|a|}k-\frac{|a|}{2}\right)=6\sum\limits_{k=1}^{|a|}k-3|a|$$$$\Rightarrow\quad 3|a|=6\sum\limits_{k=1}^{|a|}k-3a^2$$$$\Rightarrow\quad |a|=6\sum\limits_{k=1}^{|a|}k-3a^2-2|a|$$Auf der rechten Seite stehen nur gerade Terme, daher muss auch \(|a|\) bzw. \(a\) gerade sein.

Answer 2

Hallo jede Quadratzahl muss doch alle Primzahlen im Quadrat haben! also fang mit der Zerlegung von a an.

Gruß lul

Answer 3

3a^2 gerade: 3a^2=2k

a als Produkt von Primzahlen darstellen

3a^2=3(p_1*p_2*...*p_n)^2=2k

k als Produkt von Primzahlen darstellen

3(p_1*p_2*...*p_n)^2=2(p'_1*p'_2*...*p'_n)

Alle Primzahlen >2 sind ungerade, also muss links mind. einer der Faktoren auch ne zwei sein. Damit ist a gerade.