Wie fasse ich diesen e-Funktionen-Salat zusammen?

Question

Aufgrund der Quotientenregel folgende Situation:

\( \frac{6e^x*(1+e^x)^2-6e^x*(2(1+e^x))*e^x}{(1+e^x)^4} \)

Mir fällt es schwer, diesen Funktionen-Salat zusammenzufassen. Ansatz war: den rechten Teil erstmal auszuklammern was wie folgt aussehen würde: 6e^x*(2e^x+2e^2x) ich glaube aber das ist falsch. Hat jemand Ideen? LG

f(x)= \( \frac{-6e^x}{(1+e^x)^2} \)  (die Funktion mit der ich gearbeitet habe)

Answer 1

\( \dfrac{6e^x*(1+e^x)^2-6e^x*(2(1+e^x))*e^x}{(1+e^x)^4} \)

Erst mal die Klammer ausklammern und kürzen

\( \dfrac{6e^x*(1+e^x)-6e^x*(2*e^x)}{(1+e^x)^3} \)

Dann im Zähler 6e^x ausklammern

\( \dfrac{6e^x*(1+e^x-2*e^x)}{(1+e^x)^3} \)

\(= \dfrac{6e^x*(1-e^x)}{(1+e^x)^3} \) 

Comments

versteh ich nicht

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\( \dfrac{6e^x*(1+e^x)^2-6e^x*(2(1+e^x))*e^x}{(1+e^x)^4} \)

Der Zähler ist doch eine Differenz.

Sowohl im Minuend als auch im Subtrahend

steht die Klammer (1+e^x).

Wenn du die ausklammerst, hast du

\( \dfrac{(1+e^x)*(6e^x*(1+e^x)-6e^x*2*e^x)}{(1+e^x)^4} \)

Und damit kannst du es einmal kürzen und im Nenner wird aus der

hoch 4 eine hoch 3, also so :

\( \dfrac{6e^x*(1+e^x)-6e^x*2e^x}{(1+e^x)^4} \)

Jetzt hast du im Zähler wieder eine Differenz mit dem 6e^x als

gemeinsamen Faktor, also nochmal ausklammern gibt

\( \dfrac{6e^x*((1+e^x) - 2e^x)}{(1+e^x)^4} \)

und das in der Klammer (1+e^x) - 2e^x

kannst du zusammenfassen zu   1-e^x.

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ich versteh nicht wie aus den rechten teil -6^x∗(2(1+e^x))*e^x = −6ex∗2∗ex entstanden ist?

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Da stand 6e^x∗(2(1+e^x))∗e^x.

Die Klammer (rot) ist ja einer der 4 Faktoren.

Die wird ausgeklammert, also ist das rote dann weg

bzw. steht vor der großen Klammer.

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Du hast geschrieben es steht vor der großen Klammer, aber vor der großen Klammer steht kein (1+e^x) ?

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aber vor der großen Klammer steht kein (1+e^x) ?

Jetzt nicht mehr, denn ES WURDE GEKÜRZT (mit einem deiner vier gleichen Faktoren im Nenner).

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1) Er hat gesagt, es wurde ausgeklammert und "bzw. steht vor der großen Klammer." Im Zähler sollten somit 3x (1+e^x) vorhanden sein, es sind aber nur 2x (1+e^x)

2) Anschließend, erscheint mir das Kürzen unschlüssig da: links haben wir (1+e^x)² und rechts (1+e^x). Er hat gesagt: "Und damit kannst du es einmal kürzen und im Nenner wird aus der hoch 4 eine hoch 3, also so : (....)" siehe oben! Aber es scheint so, als hätte er 2x gekürzt, da wir im Zähler nur noch 1x (1+e^x) vorhanden sind.

????

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Bei diesem Schritt steht doch das (1+e^x) vor der großen Klammer

im Zähler:

\( \dfrac{(1+e^x)*(6e^x*(1+e^x)-6e^x*2*e^x)}{(1+e^x)^4} \)

Nach dem Kürzen ist das weg und im Nenner nur noch hoch 3.

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Bei dir steht aber ^4

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Weil ich alles ein paar Mal kopiert habe.

Im ersten Original ist es richtig !

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Weitere Frage:

Wenn man kürzen kann, wieso geht das nicht:

\( \frac{e^x*(e^x+1)-e^x*e^x}{(e^x+1)^2} \)

= \( \frac{e^x*(e^x+1)-e^x*e^x}{(e^x+1)*(e^x+1)} \)    und hier im Zähler (e^x+1) und im Nenner (e^x+1) wegkürzen?

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Der Zähler ist kein Produkt sondern eine Differenz

bei der der Minuend ein Produkt ist. 

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Ok danke, aber oben war der Zähler auch eine Differenz, wo der Minuend ein Produkt war, wo du bzw. wir gekürzt haben?

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Nein ich habe erst NACH dem Ausklammern (Dann war es ein Produkt.) gekürzt.