Komibinatorische Abzählverfahren

Question

Aufgabe:

Unter den 100 Losen einer Lotterie befinden sich 2 Hauptgewinne, 8 einfache Gewinne und 20 Trostpreise.

Problem/Ansatz:

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 5 gezogenen Losen genau ein Hauptgewinn und sonst nur Nieten (überhaupt kein Gewinn)?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 10 gezogenen Losen genau 2 einfache Gewinne, 3 Trostpreise und sonst nur Nieten (1 Hauptgewinn, 2 einfache Gewinne und sonst nur Nieten)? Anleitung: Teilen Sie die Lose in vier Gruppen ein.

Answer 1

Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 5 gezogenen Losen genau ein Hauptgewinn und sonst nur Nieten

p = 5 *   2/100 * 70/99  * 69/98   * 68/ 97 * 67/96

kein Gewinn:

p =    70/100 * 69/99  * 68/98   * 67/ 97  * 66/96

Answer 2

Unter den 100 Losen einer Lotterie befinden sich 2 Hauptgewinne, 8 einfache Gewinne und 20 Trostpreise.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 5 gezogenen Losen genau ein Hauptgewinn und sonst nur Nieten (überhaupt kein Gewinn)?

5 * 2/100 * 70/99 * 69/98 * 68/97 * 67/96 = 0.02435715773

Geschickter ist folgendes:

(2 über 1)·(70 über 4)/(100 über 5) = 0.02435715773

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 10 gezogenen Losen genau 2 einfache Gewinne, 3 Trostpreise und sonst nur Nieten (1 Hauptgewinn, 2 einfache Gewinne und sonst nur Nieten)? Anleitung: Teilen Sie die Lose in vier Gruppen ein.

(8 über 2)·(20 über 3)·(70 über 5)/(100 über 10) = 0.02231781054

(2 über 1)·(8 über 2)·(70 über 7)/(100 über 10) = 0.003878115783

Answer 3

Aloha :)

zu a) Von den 2 Hauptgewinnen muss 1 kommen, von den 28 sonstigen Preisen müssen 0 kommen, von den 70 Nieten müssen 4 kommen. Insgesamt werden von den 100 Losen 5 gezogen:$$\frac{\binom{2}{1}\cdot\binom{28}{0}\cdot\binom{70}{4}}{\binom{100}{5}}\approx0,024357=2,4357\%$$

zu b) Nach gneau demselben Verfahren wie bei a):$$\frac{\binom{2}{0}\cdot\binom{8}{2}\cdot\binom{20}{3}\cdot\binom{70}{5}}{\binom{100}{10}}\approx0,022318=2,2318\%$$$$\frac{\binom{2}{1}\cdot\binom{8}{2}\cdot\binom{20}{0}\cdot\binom{70}{7}}{\binom{100}{10}}\approx0,003878=0,3878\%$$