Beweis zur Bedeckung eines Schachbrettes (Das zerstückelte Schachbrett)

Question

Aufgabe:

Ich habe ein leeres Schachbrett (8x8 Felder) und 32 Dominosteine, die jeweils genau 2 Felder des Schachbrettes bedecken. Ich soll alle Felder des Schachbrettes mit den 32 Dominosteinen bedecken. Dazu lege ich 4 Dominosteine in jeder Zeile nebeneinander. So weit, so klar.

Jetzt wird mir ein Dominostein weggenommen, dafür wird jeweils eine Münze auf die linke obere und die rechte untere Ecke des Schachbretts gelegt. Die Frage ist, kann ich mit den 31 verbliebenen Dominosteinen alle restlichen 62 Felder des Schachbrettes bedecken?

Die Frage soll auch für ein beliebiges (n x n Felder) großes Schachbrett und n^2/2-1 Dominosteine beantwortet werden.

Habt ihr einen Tipp für mich?

Aufgabe findet sich in: Louis A. Graham: Ingenious mathematical problems and methods. Dover Publications, 1959, S. 52.

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Vom Duplikat:

Titel: Das zerstückelte Schachbrett

Stichworte: rätsel

Die Zubehörteile für dieses Problem sind ein Schachbrett und 32 Dominosteine. Jeder Stein hat genau die Größe zweier benachbarter Felder des Brettes. Die 32 Steine bedecken also gerade alle 64 Felder. Wir wollen nun annehmen, dass zwei diagonal gegenüberliegende Eckfelder von Schachbrett abgetrennt werden und dass ein Dominostein entfernt wird.

Ist es jetzt noch möglich, die 31 verbliebenen Steine so anzuordnen, dass alle 62 Felder bedeckt werden?

Answer 1

Aloha :)

Wenn \(n\) ungerade ist, ist \(n^2-2\) ungerade, d.h. es muss eine ungerade Anzahl von Feldern abgedeckt werden. Da ein Dominostein immer über 2 Felder geht, kann man damit das Schachbrett nicht bedecken.

Wenn \(n\) gerade ist, haben die linke obere und die rechte untere Ecke dieselbe Farbe (beide weiß oder beide schwarz). Da jeder Dominostein über 2 Felder geht, muss er stets ein weißes und ein schwarzes Feld bedecken. Da es jedoch in unserer Situation von einer Farbe 2 Felder mehr gibt, kann man das Schachbrett nicht vollständig mit Dominosteinen bedecken.

Comments

Aloha :)

Nein, das geht nicht.

Ein Dominostein belegt immer genau 2 Felder, ein weißes und ein schwarzes. Da zwei diagonal gegegenüber liegende Ecken des Schachbrettes dieselbe Farbe haben und entfernt wurden, gibt es auf dem Rest-Brett nun entweder 2 weiße oder 2 schwarze Felder zu viel.

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Das Rätsel ist ein ganz alter Hut! ich meine es ist mir schon in den 80'ern des letzten Jahrhunderts über den Weg gelaufen.

Der Spiegel hat es neu aufgelegt. Siehe hier.

Answer 2

Das ist eine sehr bekannte Aufgabe, die hier sehr schön anhand eines 8x8 Feldes erklärt wird.

https://www.mathe-online.at/galerie/spiel/schach/schach.html

Für n ungerade gibt es eine ungerade Anzahl an Feldern. Die kann man nicht mit Dominosteinen bedecken, weil immer ein Feld übrigbleibt.

Für n Gerade haben die diagonal gegenüberliegenden Felder die gleiche Farbe. Damit hat man keine Farbverteilung von 32 zu 32 sondern von 30 zu 32. Hier müssen durch bedeckung mit Dominosteinen also immer zwei gleiche Farben am Ende übrig bleiben auf die der letzte Dominostein eben nicht mehr passt.