Äquivalenzrelationen auf N x N beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass durch
(m, n) ∼ (m0, n0):⇔ m + n0 = m0 + n              für m, n, m0, n0 ∈ N,
eine Aquivalenzrelation ∼ auf N × N, gegeben ist.

ich habe Schwierigkeiten mit Äquivalenzrelationen. Ich verstehe dass man die 3 Schritte der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität machen soll und was in diese Schritte gezeigt werden soll aber ich weiss nicht was ich tatsächlich machen kann. Ich verstehe auch die Logik hinten diese Aufgaben mit Äquivalenzrelationen nicht so ich würde Ihre Hilfe viel schätzen. Vielen Dank!

Answer 1

Ich verstehe dass man die 3 Schritte der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität machen soll .

Genau !  Reflexivität heißt doch:

Jedes Element der Menge, auf der die Relation erklärt ist, steht mit sich selbst in

dieser Relation.

Die Menge, auf der die Relation erklärt ist, ist N x N .

Sei also  (x,y) ∈ NxN, dann ist zu zeigen  (x,y) ~ (x,y)

Nach Def.. der Relation heißt das

1. Komponente des ersten Paares + 2. Komponente des

zweiten Paares ist gleich 1. Komp. des 2. Paares + 2. Komp. des ersten.

kurz also      x+y = x+y

und das gilt offenbar für alle x,y aus N (wegen der Eindeutigkeit der Addition) .

Entsprechend gehst du an die Symmetrie ran:

Seien (a,b) und (x,y) aus NxN und es gelte (a,b)~(x,y)

dann folgt nach Def, der Relation ………………..

Das formst du ein wenig um und bekommst

                                (x,y) ~ ( a,b)

und entsprechend machst du es mit der Transitivität.

Comments

Herzlichen Dank. Es war sehr sehr hilfreich und sehr verständlich. Ich habe viele Übungen wo ich diese Äquivalenzrelationen beweisen soll und dank deine Erklärung ist es jetzt alles klarer. Ich hätte nur noch eine Frage,um die Logik zu verstehen, wir beweisen alle dies nur mit der erste Tupel(m,n), das wird nicht auch über die zweite Tupel(m0,n0) gemacht, oder? Ich verstehe die Logik hinten diese Äquivalenzrelationen nicht so gut, deshalb frage ich dir.

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wir beweisen alle dies nur mit der erste Tupel(m,n), das wird nicht auch über die zweite Tupel(m0,n0) gemacht, oder?

Du brauchst ja eine Definition, die sagt, wann zwei Objekte in dieser Relation zueinader stehen.

In deinem Fall sind die Objekte die Paare also musst du wissen was es bedeutet,

wenn man   (m, n) ∼ (m0, n0)   sagt. Das wird eben definiert durch

                 :⇔ m + n0 = m0 + n

Bei der Reflexivität ist es ja 2 mal das gleiche Paar, aber etwa bei der

Symmetrie fängst du ja an mit

          (m, n) ∼ (m0, n0)  und sollst zeigen, dass daraus

            (m0, n0) ∼ (m, n)  folgt.

Das erste heißt m + n0 = m0 + n

und das zweite  m0 + n = m + n0 .

In der Gleichung wurden also nur die beiden Seiten

vertauscht, und wegen der Symmetrie der

Gleichheit folgt also das eine aus dem anderen.