Formel für den Schnittwinkel von Geraden

Question

Liebe Lounge,

zur Berechnung des Schnittwinkels von Geraden (Analytische Geometrie) findet man zwei Formeln, welche sich lediglich um die Betragsstriche um das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden unterscheiden.

(i):          cos γ = \( \frac{| \vec{m}·\vec{n}  |}{|\vec{m}|·|\vec{n}|} \)

(ii):         cos γ = \( \frac{ \vec{m}·\vec{n}  }{|\vec{m}|·|\vec{n}|} \)

Benutzt man die Formel mit den Betragsstrichen, erhält man automatische den Schnittwinkel. Benutzt man (ii) ist es möglich, dass der berechnete Winkel noch von 180° abgezogen werden muss.

Kann mir jemand die Begründung dafür liefern?

Kombinatrix

Answer 1

Die Begründung ist:   "DER" Schnittwinkel zweier Geraden wird meist so definiert, dass es von den 4 Winkeln,

die bei einer Geradenkreuzung entstehen,  einer von denen ist, die nicht größer als 90° sind.

Die Formel ohne den Betrag liefert aber immer den Winkel zwischen den Vektoren und wenn du etwa

(0;1)^T und (-1;1)^T am Nullpunkt abträgst, hast du "zwischen" diesen Vektoren einen

stumpfen Winkel (135°) , weil der cos eben negativ ist. Der zugehörige positive cos-Wert ist dann der

von 45°, also vom korrekten Schnittwinkel. Das ist eben immer so, wenn der cos-Wert negativ ist, dann

liefert arccos einen stumpfen Winkel und der entsprechende positive cos-Wert liefert dann

den stumpfen Winkel minus 90°, also den passenden.

Comments

Hmm also ich hatte mir folgendes überlegt:

Wenn das Skalarprodukt negativ ist, dann ist ja lediglich einer der beiden Richtungsvektoren falsch gerichtet. Sprich, wenn man einen der beiden Richtungsvektoren mit (-1) multipliziert und dann das Skalarprodukt bildet, bekommen man den richtigen eingeschlossenen Winkel heraus.

Und genau das macht ja der Betrag mit dem Skalarprodukt (siehe Anhang).

Mir würde jetzt in dieser Herleitung nur noch die Begründung fehlen, worin der Zusammenhang begründet liegt zwischen: Skalarprodukt kleiner Null -> Winkel größer 90° und Skalarprodukt größer 0 -> Winkel kleiner 90°.

Das muss ja irgendwie mit dem arccos zusammenhängen oder? Gibt es eine Regel, die so etwas besagt wie arccos(x)+arccos(-x)=180° oder so?

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geometrische Bedeutung Skalarprodukt:

a*b = |a| * |b| * cos(α) wenn α der Winkel zwischen den Vektoren ist.

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hmm ja, das ist mir bewusst.

Das hilft mir aber irgendwie bei meiner Frage nicht weiter ...

Answer 2

sieh dir den Verlauf der Cosinuskurve an. Zwischen 0° und 90° sind die Werte positiv, zwischen 90° und 180° negativ. Wenn der Schnittwinkel z.B. 80° beträgt, könnte es sein, dass zwischen den gewählten Richtungsvektoren der Winkel 100° beträgt. Dann wäre das Skalarprodukt negativ, da cos100°<0 ist.

Da cos80°=-cos100° ist, erhältst du durch den Betrag des Skalarprodukts automatisch den kleineren Winkel, der der Schnittwinkel ist.

Die Formel ohne Betragsstriche verwendest du, wenn du z.B. die Innenwinkel eines Parallelogramms berechnen willst. Da kommen ja auch stumpfe Winkel vor.