Aloha :)
Wow, das war eine kleine Herausforderung. Nach einigem Probieren möchte ich dir folgenden Lösungsweg vorschlagen. Der Cosinus stört, deswegen schreiben wir diesen mittels \(\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) als Sinus.$$I:=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx$$Jetzt substituieren wir:
$$u(x):=\frac{\pi}{2}-x\;\;;\;\;dx=-du\;\;;\;\;u(0)=\frac{\pi}{2}\;\;;\;\;u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$Die Integrationsgrenzen vertauschen also und wegen \(x=\frac{\pi}{2}-u\) gilt:
$$I=\int\limits_{\pi/2}^0\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right) }+\sqrt{\sin u}}\,(-du)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right) }+\sqrt{\sin u}}\,du$$Das Minuszeichen vor dem \(du\) wurde durch Vertauschung von Ober- und Untergrenze kompensiert. Da \(u\) hier nur ein Name für die Integrationsvariable ist, können wir \(u\) auch einfach wieder durch \(x\) ersetzen. [Ein "x" für ein "u" vormachen ;)] und erhalten:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\,dx$$Jetzt haben wir 2 Ausdrücke für das gesuchte Integral \(I\), die wir addieren können:
$$2I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}+\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\right)\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$$$$\Rightarrow\quad I=\frac{\pi}{4}$$
