Integral mit Bruch aus Wurzeln trigonometrischer Funktionen

Question

ich komme bei folgendem Integral nicht weiter, es sieht so einfach aus, aber mir fehlt die Idee...

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx$$Auf www.integralrechner.de kommt als Ergebnis 0,785398... heraus, aber der dort angezeigte Rechenweg ist ein völlig unübersichtliches Monster. Da wird hin und her und kreuz und quer substituiert und die Terme sind riesig. Ich brauche aber nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Rechenweg.

Hoffentlich könnt ihr mir helfen...

DerUnwissende

Answer 1

Aloha :)

Wow, das war eine kleine Herausforderung. Nach einigem Probieren möchte ich dir folgenden Lösungsweg vorschlagen. Der Cosinus stört, deswegen schreiben wir diesen mittels \(\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) als Sinus.$$I:=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx$$Jetzt substituieren wir:

$$u(x):=\frac{\pi}{2}-x\;\;;\;\;dx=-du\;\;;\;\;u(0)=\frac{\pi}{2}\;\;;\;\;u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$Die Integrationsgrenzen vertauschen also und wegen \(x=\frac{\pi}{2}-u\) gilt:

$$I=\int\limits_{\pi/2}^0\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right) }+\sqrt{\sin u}}\,(-du)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right) }+\sqrt{\sin u}}\,du$$Das Minuszeichen vor dem \(du\) wurde durch Vertauschung von Ober- und Untergrenze kompensiert. Da \(u\) hier nur ein Name für die Integrationsvariable ist, können wir \(u\) auch einfach wieder durch \(x\) ersetzen. [Ein "x" für ein "u" vormachen ;)] und erhalten:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\,dx$$Jetzt haben wir 2 Ausdrücke für das gesuchte Integral \(I\), die wir addieren können:

$$2I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}+\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\right)\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$$$$\Rightarrow\quad I=\frac{\pi}{4}$$

Comments

Super Lösung und dann noch verständlich erklärt!!!

Da muss man erstmal drauf kommen.

Danke dir vielmals.

Answer 2

Dieses Problem kannst Du auch über die Weierstraß -Substitution lösen:

t= tan(x/2) ------->

sin(x) = (2t)/(1+t^2)

cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

dx= (2dt)/(1+t^2)