Ich war nur zu faul, die Summe der Binomialkoeffizienten von Hand auszurechnen. Deswegen habe ich wie folgt gerechnet. Zu$$\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}+\cdots+\binom{8}{8}$$habe ich vorne \(\binom{8}{0}\) addiert und hinten wieder abgezogen, damit der Wert der Summe sich nicht ändert:$$\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}+\cdots+\binom{8}{8}-\binom{8}{0}$$Dann habe ich alle Summanden mit einem "+" zu der Summe zusammengefasst:$$\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}-\binom{8}{0}$$Dann habe ich die Summenglieder mit einer 1 multipliziert, sodass sich ihr Wert nicht ändert:$$\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}\cdot\underbrace{1^n\cdot1^{8-n}}_{=1}-\binom{8}{0}$$Ziel des ganzen war, dass ich nun die allgemeine binomische Formel anwenden kann. Es gilt nämlich ganz allgemein:
$$(a+b)^m=\sum\limits_{n=0}^m\binom{m}{n}\cdot a^n\cdot b^{m-n}$$Wenn du das mit unserer Summe vergleichst, stellst du fest, dass beide gleich sind, wenn du \(a=1\), \(b=1\) und \(m=8\) wählst. Daher ist unsere Summe gleich \((1+1)^8\). Damit habe ich oben weiter gerechnet:
$$\underbrace{\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}\cdot\underbrace{1^n\cdot1^{8-n}}_{=1}}_{(1+1)^8}-\underbrace{\binom{8}{0}}_{=1}=2^8-1=256-1=255$$
Wenn dir das zu fummelig ist, kannst du auch einfach die Binomialkoeffizienten von oben ausrechnen und die Summe von Hand bilden:
$$\binom{8}{1}=8$$$$\binom{8}{2}=28$$$$\binom{8}{3}=56$$$$\binom{8}{4}=70$$$$\binom{8}{5}=56$$$$\binom{8}{6}=28$$$$\binom{8}{7}=8$$$$\binom{8}{8}=1$$
