Zeigen sie, dass die Trapezformel eine obere Schranke für das Integral einer konvexen Funktion liefert

Question

Aufgabe:

Sei f : [a, b] → R konvex und differenzierbar.
 Zeigen Sie, dass die Trapezformel eine obere Schranke für  \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x)dx liefert

Problem/Ansatz:

Ich verstehe warum dies der Fall ist und kann mir das auch Geometrisch vorstellen, finde aber leider keinen Ansatz für einen Beweis. Aus dem Skript weiß ich, dass für eine konvexe Funktion folgendes gilt:

f((1-λ)x+λy)≤(1-λ)f(x)+λf(y)

ich weiß leider nicht wie mir das weiter helfen kann. Hoffe mir kann hier jemand helfen.

Grüße

Answer 1

Hi,

für das Integral $$ \int_a^b f(x) dx $$ gilt als Näherung die Trapezformel $$ T = (b-a) \frac{f(a) + f(b)}{2} $$

Definiere eine Gerade durch die Punkte \( f(a) \) und \( f(b) \) wie folgt $$  g(x) = \frac{b-x}{b-a} f(a) + \left(1- \frac{b-x}{b-a} \right) f(b) $$

Wegen der Konvexität folgt $$  g(x) \ge f(x) $$

Damit kann das Integral wie folgt abgeschätzt werden $$  \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx = (b-a) \frac{f(a) + f(b) }{2 } = T $$

Damit ist die Trapezformel eine obere Grenze für das Integral \( \int_a^b f(x) dx \)

Allgemein folgt für $$  \int_a^b f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{a+ih}^{a+(i+1)h} f(x) dx \le \sum_{i=0}^{n-1} \frac{ f(a+ih) + f(a+(i+1)h)  }{2} h = \\ h \left[ \frac{1}{2} f(a) + \frac{1}{2} f(b)  + \sum_{i=1}^{n-1} f(a+ih) \right] $$

mit \( h = \frac{b-a}{n} \)

und das ist die allgemeine Trapezformel für Integrale.