Normalenform einer Ebenengleichung in die Parameterform umwandeln?

Question

Aufgabe:

Wenn man eine Normalenform hat und man sie in die Parameterform umwandelt. Wie geht das?

Bsp.

Oder eine 3 Punkte Funktion soll man mit LGS/Matrix lösen  um auf die Koordinatengleichung zu kommen.

Verstehe ich nicht ganz.

Nachtrag: Bsp. 

Normalenform: (1/2/10) ×(x-(4/2/6))=0

Und für die 3 Punkte Funktion:

P1(2/4/8) P2(5/0/0) P3(6/3/2)

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Vom Duplikat:

Titel: Parameterform stellen

Stichworte: parameterform

Aufgabe:

Wenn man eine Normlengleichung hat und man sie in die Parameterform umwandelt. Wie geht das?

Answer 1

Hast du ein konkretes Beispiel an dem wir es dir vormachen können?

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Ja Normalenform: (1/2/10) ×(x-(4/2/6))=0

Und für die 3 Punkte Funktion:

P1(2/4/8) P2(5/0/0) P3(6/3/2)

---

Aus der Normalenform kannst du den Ortsvektor [4, 2, 6] ablesen den du auch benutzen kannst. Dann brauchst du noch 2 Richtungsvektoren die zum Normalenvektor [1, 2, 10] senkrecht sind.

Senkrecht zu [1, 2, 10] sind [0, 5, -1] und [10, 0, -1]. Diese kannst du leicht ablesen. Eine Koordinate auf Null setzen und dafür sorgen das das Skalarprodukt Null wird.

Damit kann eine Parameterform wie folgt aussehen

X = [4, 2, 6] + r * [0, 5, -1] + s * [10, 0, -1]

---

P1(2/4/8) P2(5/0/0) P3(6/3/2)

Wenn die Punkte bekannt sind, kannst du das Gleichungssystem aufstellen

2a + 4b + 8c = d
5a + 0b + 0c = d
6a + 3b + 2c = d

Löse dieses Gleichungssystem und erhalte: a = d/5 ∧ b = - 7/40·d ∧ c = 13/80·d

Mit d = 80 erhalten wir also a = 16 ∧ b = -14 ∧ c = 13

Damit hast du die Gleichung

E: 16x - 14y + 13z = 80

Die Proben ob meine Lösungen stimmen oder ich einen Rechenfehler gemacht habe überlasse ich dir.

Answer 2

nehmen wir dein Beispiel:

(1/2/10) *(x-(4/2/6))=0

Schreibe die Gleichung aus:

x+2y+10z-68=0

Stelle diese nach x um:

x=-2y-10z+68

Schreibe darunter die wahren Aussagen y=y , z=z:

x=-2y-10z+68

y=y

z=z

Die linke Spalte ist der Ortsvektor, die rechte Seite die Parametrisierung. y und z sind die Parameter.

Comments

Auch eine schöne Methode. Warum hast du die Entstehende Ebene in Parameterform nicht notiert?

Für r = y und s = z folgt die Parameterform

X = [68, 0, 0] + r·[-2, 1, 0] + s·[-10, 0, 1]