Potenzen mit negativen Exponenten

Question

Aufgabe:

Bakterien werden mithilfe eines Giftes abgetötet. Vor einigen Stunden wurde das Gift zugegeben. In jeder Stunde sterben zwei Drittel der zu Beginn der Stunde noch vorhandenen Bakterien. Zu Beobachtungsbeginn (t=0h) waren noch 2187 Millionen Bakterien vorhanden. Wie viele Bakterien sind es nach einer Stunde, nach zwei Stunden und nach vier Stunden?

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Hallo

es sterben 2/3 also bleibt jeweils 1/3

 nach 1 h N(0)*1/3, nach 2 h  (N(0)*1/3)*1/3=N(0)*(1/3)^2  nach 3 h (N(0)*1/3^2)*1/3 usw

 nach n h also N(0)*(1/3)^n oder N(0)*3^-n

versuch es nachzuvollziehen, wenn man an so was rangeht, sollte man immer mal die ersten 2 oder 3 Zeiten rechnen, dann sieht man meist den Weg.

Comments

erstmal danke für die hilfreiche Antwort! Eine Frage habe ich noch und zwar rechnet man mit den 1/3, weil man ja herausbekommen will, wie viele es noch zu dem Zeitpunkt gibt?

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Hallo

 ja, die Toten gegeben sich dann aus der Differenz, aber nach denen war nicht gefragt

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Zu Beginn hast noch alle Bakterien:$$n_0=2187\cdot10^6$$Nach einer Stunde, sind \(\frac{2}{3}\) der Bakteriet tot, also leben noch \(\frac{1}{3}\). Die Bakterienanzahl nach 1 Stunde ist daher:$$n_1=n_0\cdot\frac{1}{3}=729\cdot10^6$$Nach einer weiteren Stunde hat wieder nur \(\frac{1}{3}\) der Bakterien überlebt:$$n_2=n_1\cdot\frac{1}{3}=n_0\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=243\cdot10^6$$Nach 3 Stunden hat wieder nur \(\frac{1}{3}\) der Bakterien überlebt:$$n_3=n_2\cdot\frac{1}{3}=n_0\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=81\cdot10^6$$Nach 4 Stunden hat wieder nur \(\frac{1}{3}\) der Bakterien überlebt:$$n_4=n_3\cdot\frac{1}{3}=n_0\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4=27\cdot10^6$$Allgemein ist die Bakterienanzahl nach \(k\) Stunden:$$n_k=n_0\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^k$$

Comments

Wow, Dankeschön!