Differentialgleichung: Anfangswertproblem

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem (und geben Sie die entsprechenden Funktionen g und h an):

\( \frac{dx}{dt} \) = 1+t-x mit x(0) = 3

Problem/Ansatz:

Bei anderen Aufgaben dieser Art (z.B. \( \frac{dx}{dt} \) = 2 \( \sqrt{xt} \) ) konnte ich die Variablen trennen und dann beide Seiten integrieren, um auf den Anfangswert zu kommen.

Bei dieser Aufgabe gelingt mir das leider nicht und WolframAlpha gibt als Lösungsmethode das d'Alembertsche Prinzip an, welches wir in der Vorlesung nicht besprochen haben.

Gibt es eine andere Möglichkeit, auf den Anfangswert zu kommen?

Answer 1

Gibt es eine andere Möglichkeit, auf den Anfangswert zu kommen?

JA ,mittels Variation der Konstanten

dx/dt +x= 1+t

dann zuerst die homogene Gleichung lösen:

dx/dt +x=0 ->Trennung der Variablen

dx/x= -dt

x_h=C₁ *e^(-t)

dann setzte C₁=C(x)

x_p=C(x) *e^(-t)

xp'= C '(x)   *e^(-t) - C(x) e^(-t)

dann x_p und x_p' in die DGL einsetzen:

C'(x) =(1+t)e^(t) part. Integration

C(x)= e^t *t

dann:

x_p=C(x) *e^(-t) =e^t *t *e^(-t)

x_p= t

------->

x=x_h+x_p

x=C(x) *e^(-t) +t

dann noch die AWB in die Lösung einsetzen

x= 3 e^(-t) +t