Untersuchung einer Funktion auf lokale Extrema und Wendepunkte

Question

Aufgabe:

Gegeben sei x^4 - x^3 in ganz R differenzierbar

Untersuchen Sie diese Funktion auf lokale Extrema und Wendepunkte

erste Ableitung :4x^3-3x^2

Zweite Ableitung : 12x^2-6x

4x^3-3x^2=0 

X1= 0 , X2= 0.75

X1 . X2 in die zweite Ableitung einsetzen ;

f(0)= 0 , f(0,75)= 2,25

Problem/Ansatz:

ich kann die Frage nicht weiter auflösen .. könnte mir bitte jemande helfen ?

was soll ich noch machen ?

Comments

Untersuchen Sie diese Funktion auf Lokale extreme und Wendepunkt
Das stünde noch aus.

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Stopp! Nicht mal das Thema Extremstellen ist fertig abgearbeitet.

Answer 1

Aloha :)

1) Die Ableitungen bilden:

$$f(x)=x^4-x^3=x^3(x-1)$$$$f'(x)=4x^3-3x^2=x^2(4x-3)$$$$f''(x)=12x^2-6x=6x(2x-1)$$$$f'''(x)=24x-6=6(4x-1)$$

2) Lokale Extrema:

Mögliche Kandidaten sind alle Punkte, bei denen die erste Ableitung Null wird:$$0\stackrel{!}{=}f'(x)=x^2(4x-3)\quad\Rightarrow\quad x_1=0\;\;;\;\;x_2=\frac{3}{4}$$Einsetzen in die zweite Ableitung, um die Kandidaten zu prüfen:$$f''(0)=0\quad\Rightarrow\quad\text{Prüfung auf Vorzeichenwechsel nötig}$$$$f'(-0,01)<0\;\;;\;\;f'(+0,01)<0\quad\Rightarrow\quad\text{kein Extremum}$$$$f''(3/4)=2,25>0\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum bei }x=\frac{3}{4}$$

3) Wendepunkte:

Mögliche Kandidaten sind alle Punkte, bei denen die zweite Ableitung Null wird:$$0\stackrel{!}{=}f''(x)=6x(2x-1)\quad\Rightarrow x_1=0\;\;;\;\;x_2=\frac{1}{2}$$Einsetzen in die dritte Ableitung, um die Kandidaten zu prüfen:$$f'''(0)=-6\ne0\quad\Rightarrow\quad\text{Wendepunkt bei } x=0$$$$f'''(1/2)=6\ne0\quad\Rightarrow\quad\text{Wendepunkt bei } x=\frac{1}{2}$$

Comments

Bekommst du den Test auf Vorzeichenwechsel auch mathematisch sauber hin? Meine Schüler würden für diesen Teil mit diesem Vorgehen keine Punkte bekommen.

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@abakus:

Hast du alles gelesen? Auch die Voraussetzung "Gegeben sei x^{4} - x^{3} in ganz R differenzierbar".

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@Abakus

Bekommst du den Test auf Vorzeichenwechsel auch mathematisch sauber hin?

Ausgerechnet du bestehst hier auf "Komplettlösung"?

\(f''(0)=0\quad\Rightarrow\quad\text{Prüfung auf Vorzeichenwechsel nötig}\)

Ist doch wohl ein ausreichender Impuls!

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Ist doch wohl ein ausreichender Impuls!

Sicher. Was ich bemängle, ist die (vorsichtig ausgedrückt) unprofessionelle Durchführung dieser Prüfung.

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Wo führt er denn diese Prüfung "unprofessionell" durch?. Er verweist doch lediglich darauf, dass sie in diesem Fall nötig ist.

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Er verweist lediglich drauf????

Er suggeriert sehr konkret, dass der Nachweis allein dadurch geführt ist, dass man die Stichprobe an zwei Stellen links und rechts von 0 durchführt, die -würde man die Zahlengerade unter dem Mikroskop betrachten- MEILENWEIT von 0 entfernt sind.

Nach dieser "Logik" könnte man auch sagen: die Funktion sin(1/x) hat zwischen -0,01 und +0,01 keine Vorzeichenwechsel, weil sin(-0,01)=sin(0,01)=-05063... ist.

Beide Werte negativ - kein Vorzeichenwechsel.

Tatsächlich hat diese Funktion in diesem Intervall aber unendlich viele Vorzeichenwechsel.

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Ich ziehe meine Einwände mit Bedauern zurück (hatte das leider überlesen, was natürlich nicht vorkommen sollte, wenn man Kritik übt).

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Danke. Schön, dass du zu denen gehörst, die Argumente zur Kenntnis nehmen und gegebenenfalls auch anerkennen.

Vermutlich hat Tschaka das auch nur überlesen oder war seitdem nicht mehr online.

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@abakus:

Ich habe das damals in der Schule so gelernt, deswegen habe ich es hier so durchgeführt. Bei der gegebenen Funktion ist ein Abstand von 0,01 zum Extremum-Kandidaten auch nicht "meilenweit" entfernt.

Schön wäre gewesen, wenn du die in deinen Augen "korrekte" mathematische Prüfung einfach ergänzt hättest, anstatt mich "anzumachen".

@Mo_kh:

Falls du so einen Lehrer wie abakus haben solltest, würde ich hier auf die Prüfung des Vorzeichenwechsels verzichten. Stattdessen kannst du einen Extremum-Kandidaten so lange in die nachfolgenden Ableitungen einsetzen, bis die erste ungleich 0. Ist diese Ableitung dann eine gerade (also die 2-te, 4-te, 6-te...) hast du ein Extremum vorliegen (<0 Maximum bzw. >0 Minimum). Ist diese Ableitung eine ungerade (also die 3-te, 5-te, 7-te...) hast du einen Sattelpunkt.

In diesem Fall hier ist \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=-6\). Die erste Ableitung, die ungleich 0 ist, ist also die dritte. Damit liegt bei \(x=0\) kein Extremum vor.

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@ TB

Du hast in der Schule nichts Falsches gelernt :-)

Du hättest einfach noch erwähnen sollen, dass in [-0,01;0,01] außer x=0 keine weitere Nullstelle von f ' (stetig → Zwischenwertsatz!) liegt.

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Nullstellen gerader Ordnung sind berührende Nullstellen. Ungerader Ordnung schneidende Nullstellen.

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Falls du so einen Lehrer wie abakus haben solltest, würde ich hier auf die Prüfung des Vorzeichenwechsels verzichten.

Dabei ist diese Prüfung mit Mitteln der Klasse 7 machbar. Die Schüler in Klasse 7 wissen: Ein Produkt von zwei Faktoren ist positiv, wenn beide das gleiche Vorzeichen haben, und es ist negativ, wenn sie verschiedene Vorzeichen haben.
Du hast die erste Ableitung schön faktorisiert in

x² (der erste Faktor)

und

(4x-3) (zweiter Faktor).

x² ist links und recht von 0 immer positiv.

(4x-3) ist für negative x und auch von 0 bis an 0,75 heran negativ und ändert erst nach 0,75 das Vorzeichen. An der Stelle x=0 selbst findet also für 4x-3 noch kein Vorzeichenwechsel statt, in einer recht großen Umgebung von 0 bleibt also
x²(4x-3) negativ (oder eben 0). Damit findet für die erste Ableitung an der Stelle 0 kein Vorzeichenwechsel statt.

Schön wäre gewesen, wenn du die in deinen Augen "korrekte" mathematische Prüfung einfach ergänzt hättest, anstatt mich "anzumachen".

Mit deiner angesammelten Menge an Punkten hier war ich der Meinung, dass du selbst darauf kommst, was noch zu ergänzen wäre. Du hättest aber auch rückfragen können, worin meine Kritik besteht. Vielleicht beim nächsten mal...

Answer 2

Wendepunkt
f ´´( x ) = 12x^2-6x
12x^2-6x = 0
x = 0
x = 1/2

Die erste Ableitung  ist bei x = 0 auch null.
x = 0 : Steigung null, Krümmung null : Sattelpunkt

x = 0.75 ; Steigung null, Krümmung 2.25
Linkskrümmung = Tiefpunkt

Wendestelle bei x = 1/2, Steigung -0.25 ( fallend )

Zusammenfassung
( x | y )
( 0 | 0 ) Sattelpunkt
( 0.5 |  -0.0625 ) Wendepunkt, fallend
( 0.75 | -0.105 ) Tiefpunkt

Man könnte noch die Montoniebereiche, fallend,steigend,
berechnen.
Bei Bedarf nachfragen.

Comments

x = 0 : Steigung null, Krümmung null : Sattelpunkt
Wendestelle bei x = 1/2, Steigung -0.25 ( fallend )

Da fehlt wohl die Überprüfung - oder zumindest die Erwähnung der Notwendigkeit - einer hinreichenden Bedingung.

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Du hättest einfach noch erwähnen sollen, dass in [-0,01;0,01] außer x=0 keine weitere Nullstelle von f ' (stetig!) liegt.

Richtig, das hätte die Stichprobenmethode auch gerettet, die dann sogar im Intervall ]-0,75;0,75[ möglich gewesen wäre (wenn man links und recht bei gleichen Abständen bleiben will).

:-)

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Der letzte Kommentar steht wohl unter der falschen Antwort :-)

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Du hast recht. Zum Glück bezeugt wenigstens das Zitat den eigentlichen Zusammenhang.

Answer 3

Ich würde mit den Nullstellen und ihrer Vielfachheit beginnen. Kommt halt drauf an, was man dort benutzen darf.
f(x) = x^{4} - x^{3} = x^3(x-1)
x2 = 1 ist eine einfache Nullstelle.
x1 = 0 ist eine dreifache Nullstelle. Somit Steigung 0 und Vorzeichenwechsel bei x1=0. D.h. W(0|0) ist ein Wendepunkt (Sattelpunkt / Terrassenpunkt). Da erübrigt sich dann bei x1 = 0 ein Test auf Extremstelle.

Danach Globalverhalten und Ableitungen noch betrachten. Vgl. andere Antworten.