Frage zu den Gruppenaxiomen

Question

In einer Gruppe (G,*) gibt es ja immer ein neutrales Elemente e aus G. Darauf beziehen sich die beiden Gruppenaxiome:

a) e*a=a und a*e=a für alle a aus G

b) Für jedes a aus G gibt es ein a', sodass (a')*a=e und a*(a')=e

Meine Frage dazu:

Bei einer abelschen (kommutativen) Gruppe würde es ja reichen zu zeigen, dass e*a=a und (a')*a=e ist. Aber wie ist das bei einer nichtabelschen Gruppe? Muss ich da von beiden Seiten multiplizieren? Also muss ich zeigen, dass e*a=a und a*e=a gilt, bzw. dass (a')*a=e und a*(a')=e gilt?

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Answer 1

Aloha :)

Angenommen, du hast bereits das Assoziativitätsgesetz$$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$gezeigt und, dass gilt:$$e\cdot a=a\;\;\text{und}\;\;a'\cdot a=e$$Dann können wir damit wie folgt argumentieren:

Zu \(a'\) gibt es nach deinem Punkt (b) ein \(a''\), sodass \(a''\cdot a'=e\) ist. Dann gilt (ich lasse die Malpunkte weg):

$$aa'=e(aa')=(a''a')(aa')=a''(a'(aa'))=a''((a'a)a')=a''(ea')=a''a'=e$$$$ae=a(a'a)=(aa')a=ea=a$$Das heißt, auch bei einer nicht-abelschen Gruppe reicht es zu zeigen, dass es ein Links-neutrales (\(e\)) und ein Links-inverses (\(a'\)) Element gibt.

Comments

Alles verstanden... Danke dir... \o/