Bestimme die Gleichung der Funktion

Question

Eine Parabel 3. Grades hat in P(1/4) eine Tangente parallele zu y=x (1.Winkelhalbierende) und in Q(0/2) eine Tangente parallel zur x-Achse. Bestimme die Gleichung der Funktion! Wenns ausführlich geht würde ich mich freuen

Answer 1

Nun, eine "Parabel" 3. Grades hat die allgemeine Darstellung:

 

f ( x ) = a x ³ + b x ² + c x + d

Um die konkrete Darstellung herauszufinden, müssen die Werte der vier Parameter a, b, c, d bestimmt werden. Dazu werden 4 Informationen über die Funktion f ( x ) benötigt. Diese sind:

1) f ( 1 ) = 4

2) f ( 0 ) = 2

3) f ' ( 1 ) = 1

4) f ' ( 0 ) = 0

 

Aus 1) ergibt sich:

a + b + c + d = 4

Aus 2) ergibt sich:

d = 2

Aus 3)  ergibt sich:

3 a + 2 b + c = 1

Aus 4) ergibt sich:

c = 0

Die Werte der Parameter c und d haben sich also bereits ergeben. Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen ergibt:

a + b + 0 + 2 = 4

3 a + 2 b + 0 = 1

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist:

a = - 3 , b = 5

sodass also die gesuchte konkrete Funktionsgleichung lautet:

f ( x ) = - 3 x ³ + 5 x ² + 2

Comments

Vielen vielen Dank echt super erklärt! :D

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kann es sein das bei der ersten ableitung ein fehler ist es sollte doch gleich null sein oder?

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ok hab mein fehler gefunden p(1/4) ist parallel zu y=x winkelhalbierende deshalb 1 :D

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Laut Aufgabenstellung soll die Funktion an der Stelle x = 1 eine zur ersten Winkelhalbierenden y = 1 x parallele Tangente haben. Da die erste Winkelhalbierende die Steigung 1 hat, muss also auch die Tangente die Steigung 1 haben. Das aber bedeutet, dass die Ableitung von f ( x ) an der Stelle x = 1 den Wert 1 haben muss, also f ' ( 1 ) = 1.