Brauche Hilfe beim Beweis einer simplen Mengenimplikation

Question

Aufgabe:

Seien A, B endliche Mengen

Beweisen oder widerlegen Sie:

A∈B ⇒ A⊆B

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist wahrscheinlich super einfach zu lösen, allerdings bin ich mit dem mathematischen Beweisverfahren noch nicht sehr vertraut und habe keine sinnvolle Idee, wie man den Beweis / die Widerlegung angehen soll...

Ich habe mir die Definition der Teilmenge rausgeschrieben:

A⊆B ↔ ∀x∈A : x∈B

Sei x∈A⊆x∈B.

Answer 1

Beweisen oder widerlegen Sie: A∈B ⇒ A⊆B

Sei A = {1} , B= {{1}}. Dann ist A∈B aber nicht A⊆B.

Comments

Sei A = 1

Widerspruch zu

Seien A, B endliche Mengen

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Danke. Ich sollte mir wirklich angewöhnen, die Aufgabenstellung zu lesen.

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Danke für die schnelle Antwort. Ein Beispiel reicht als Beweis nur leider nicht aus. Es muss allgemein gefasst sein.

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Ein Beispiel reicht als Beweis nur leider nicht aus.

Doch, das reicht. Und zwar aus folgendem Grund.

Seien A, B endliche Mengen

Beweisen oder widerlegen Sie:

A∈B ⇒ A⊆B

Ich habe mich dazu entschlossen, diese Aussage zu widerlegen. Formal ausgedrückt möchte ich die Aussage

        ∀A ∀B ((|A|∈ℕ ∧ |B|∈ℕ) ⇒ (A∈B ⇒ A⊆B))

widerlegen. Ich möchte also die Aussage

        ¬∀A ∀B ((|A|∈ℕ ∧ |B|∈ℕ) ⇒ (A∈B ⇒ A⊆B))

beweisen. Diese Aussage kann zu der äquivalenten Aussage

        ∃A ∃B   (|A|∈ℕ ∧ |B|∈ℕ ∧ A∈B  ∧ A⊄B))

umgeformt werden. Diese Aussage behauptet, dass es Mengen A und B mit gewissen Eigenschaften gibt.

Ich habe bewiesen dass es Mengen A und B mit diesen Eigenschaften gibt, indem ich Mengen angegeben habe, die diese Eigenschaften haben.

Hätte ich beweisen müssen, dass alle Mengen gewisse Eigenschaften haben, dann hätte ich das natürlich nicht beweisen können indem ich beispielhaft einige Mengen angebe, die diese Eigenschaften haben.

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Allgemein genügt für einen Beweis die Angabe eines Beispiels, wenn die Aussage lautet, dass etwas existiert. Natürlich muss man dann noch zeigen, dass dieses Beispiel tatsächlich die geforderten Eigenschaften hat. Das ist im vorliegenden Fall aber recht einfach.