Krümmung einer Raumkurve.

Question

Hallo liebe Mathematiker,

welche Krümmung hat die Raumkurve (t, t^2, 2t^3/3)? Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Danke schon mal vorab.

Answer 1

Aloha :)

Am besten merkst du dir für die Krümmung einer Raumkurve die Formel \(\kappa=\frac{\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|}{\left|\dot{\vec r}\right|^3}\). Die führt in der Regel am schnellsten zum Ziel. Du brauchst also die erste und zweite Ableitung:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}t\\t^2\\\frac{2}{3}t^3\end{array}\right)\quad;\quad\dot{\vec r}=\left(\begin{array}{c}1\\2t\\2t^2\end{array}\right)\quad;\quad\ddot{\vec r}=\left(\begin{array}{c}0\\2\\4t\end{array}\right)$$$$\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}=\left(\begin{array}{c}1\\2t\\2t^2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\2\\4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t\cdot4t-2t^2\cdot2\\2t^2\cdot0-1\cdot4t\\1\cdot2-2t\cdot0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t^2\\-4t\\2\end{array}\right)$$$$\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|=\sqrt{16t^4+16t^2+4}$$$$\left|\dot{\vec r}\right|=\sqrt{1+4t^2+4t^4}$$$$\kappa=\frac{\sqrt{16t^4+16t^2+4}}{\left(1+4t^2+4t^4\right)\sqrt{1+4t^2+4t^4}}=\frac{2\sqrt{4t^4+4t^2+1}}{\left(1+2t^2\right)^2\sqrt{1+4t^2+4t^4}}=\frac{2}{(1+2t^2)^2}$$

Comments

Vielen lieben Dank... !!!

Answer 2

unter

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Frenetsche_Formeln

findest du eine Berechnungsformel für die Krümmung κ.

Probier damit mal zu rechnen.