Beweisen Sie mit vollstandiger Induktion positive reelle Zahlen mit

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollstandiger Induktion: Seien x1,x2;...,xn positive reelle Zahlen mit
x1, x2 ... xn = 1. Dann gilt x1 + x2 + ... + xn≥n.

Problem/Ansatz:

EDIT: Statt x1, x2 ... xn = 1. Dann gilt x1 + x2 + ... + xn≥n

muss es heißen:

x_{1}· x_{2}· ... ·x_{n} = 1. Dann gilt x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}≥n.

kann jemand mir bitte helfen a und b ich habe keine Ahnung wie die lösen kann2.3. a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
Seien \( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \) positive reelle Zahlen mit \( x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=1 . \) Dann gilt \( x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq n \)

Hinweis: Benutzen Sie beim Induktionsbeweis die Tatsache, dass unter der Voraussetzung \( x_{1} x_{2} \cdots x_{n} x_{n+1}=1, \) wenn nicht alle Zahlen gleich sind, mindestens zwei darunter sind, etwa \( x_{n} \) und \( x_{n+1}, \) die \( x_{n}<1<x_{n+1} \) erfüllen. Warum? Wenden Sie die Induktionsvoraussetzung auf \( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}, y_{n} \) mit \( y_{n}:=x_{n} x_{n+1} \) an.

b) Das arithmetische und geometrische Mittel von \( n \) nichtnegativen reellen Zahlen \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \) sind definiert durch
$$ A(a):=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \quad \text { und } \quad G(a):=\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdots \cdots a_{n}} $$
Zeigen Sie mittels a) die Gültigkeit der Ungleichung \( G(a) \leq A(a) \) zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel. Hinweis: Falls \( a_{i}>0 \,\forall i=1, \ldots, n \) setze man \( x_{i}=a_{i} / \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdots \cdots a_{n}} \)

Comments

Statt x1, x2 ... xn = 1. Dann gilt x1 + x2 + ... + xn≥n

muss es heißen:

x₁· x₂· ... ·x_n = 1. Dann gilt x₁ + x₂ + ... + x_n≥n.

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ok steht alles im Foto danke :)

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Texte sind (korrekt) einzugeben. Fotos sind nicht zulässig.

Answer 1

Gehe einfach nach dem Tipp vor:

Für n=1 ist es sicherlich richtig.

Es gelte für ein n (Ind.vor) und man muss zeigen,

dass es dann auch für n+1 gilt.

Seien also x₁,x₂,...x_n,x_n+1 nur n+1 pos. reelle Zahlen,

deren Produkt 1 ist.

Wenn alle gleich sind, sind alle gleich 1, also ist deren Summe

genau n+1 und das ist ≥ n+1 .

Wenn sie nicht alle gleich sind können nicht alle kleiner 1 sein; denn

dann wäre das Produkt < 1 . Ebenso können nicht alle größer 1 sein.

Ebenso kann es nicht nur welche geben, die kleiner 1 sind, und die anderen etwa

alle gleich 1 und mit größer 1 entsprechend.

Also gibt es mindestens einen (etwa xn), der kleiner

und einen (etwa x_n+1) der größer 1 ist.

Setze nun y_n = x_n*x_n+1 .

Dann ist das Produkt x1*x2*…*xn-1*yn = x1*x2*...*xn*xn+1 =1

Die linke Seite erfüllt also die Ind.vor. denn pos. ist yn sicher auch.

Also folgt x1+x2+....+xn-1+yn  ≥ n

<=>       x1+x2+....+x_n-1+x_n*x_n+1   ≥ n   #

Aus  x_n < 1 < x_n+1 folgt   x_n ^2< x_n  < x_n+1 * x_n

Also kannst du bei # einsetzen und hast

             x1+x2+....+xn-1+xn  ≥ n   | + xn+1

           x1+x2+....+xn-1+xn +xn+1  ≥ n   + xn+1

und weil xn+1 größer 1 ist, hast du das, was zu zeigen ist.

zu b) siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#Beweis_mittels_Hilfssatz

Comments

vielen dank.

bei dem Teil b) fällt es mir immer noch schwer zu lösen, könnten Sie mir bitte auch bei dem helfen ?

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Der Hilfssatz ist doch gerade der Teil a).

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Wie meinen Sie ?

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Teil b) ist das was bei Wikipedia unter

"Beweis mittels Hilfssatz" steht.