Anhand einer Verknüpfungstafel zeigen dass jede Zahl einmal vorkommt

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe ist, dass ich folgende Verknüpfungstafel die eine abelsche Gruppe repräsentiert gegeben habe

* 0 1 2 3 4
0 1 2 ? ? ?
1 ? ? ? ? ?
2 ? ? ? ? ?
3 ? ? ? ? ?
4 0 ? ? ? ?

Durch knobeln bin ich  darauf gekommen dass die Tabelle am Ende so aussehen muss

* 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0
1 2 3 4 0 1
2 3 4 0 1 2
3 4 0 1 2 3
4 0 1 2 3 4

Problem/Ansatz

Es wurde ein Hinweis gegeben dass in jeder Zeile und Spalte gezeigt werden soll dass jede Zahl nur einmal vorkommen kann.

Das ist bei mir ja nun auch der Fall, aber wie Zeige ich das?

Da es sich bei der Zahl 4 um das neutrale Element handelt weiß ich ja das in dieser Zeile und spalte jede Zahl nun einmal vorkommen darf, aber wie beweise ich das für die anderen Zeilen?

und ich soll noch begründen ob sie eindeutig ist. Das muss sie ja sein weil jede Zahl in jeder Zeile und spalte nun einmal vorkommen darf und durch Kommutativität ich die anderen Zeilen/ Spalten sodurch ergänze oder?

Wäre supernett wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ist mein erstes Übungsblatt in Lina und würde mich daher sehr über eine Hilfe freuen.

Comments

Für gewöhnlich besteht der Hinweis zu einer solchen Aufgabe eher darin, dass in einer Verknüpfungstafel für eine Gruppe jedes Element in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vorkommt und dies beim Aufstellen der Tafel benutzt werden soll.

Die dann noch möglichen Gruppentafeln lassen sich dann auf Kommutativität untersuchen.

Answer 1

Wie heißt eigentlich die Aufgabe?

So: Berechne unter Hinweis auf die benutzten Axiome die ganze Tabelle!

Oder so: Schreib die Tabelle hin und beweise, dass in jeder Zeile und Spalte jede Zahl nur einmal vorkommen kann!

Comments

Die genaue Aufgabe lautet: Füllen Sie die folgende Verknüpfungstafel so aus, dass sie eine abelsche Gruppe repräsentieren. Hinweis: Zeigen Sie zunächst dass in jeder zeile und jeder Spalte jede Zahl aus ( 0,1,2,3,4) genau einmal vorkommen muss.

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Also muss man alle ? ausrechnen, zumind. die wichtigsten:

1*0=0*1=2 wegen Komm.

0*4=4*0=0 wegen Komm.

4*1=4*(0*0)=(4*0)*0=0*0=1 wegen Ass 

1*4=4*1 wegen Komm

2*4=4*2=4*(1*0)=(4*1)*0=1*0=2 wegen Komm wegen Ass wegen Zeile 3 wegen Zeile 1

analog: 3*4=4*3=3, 4*4=4

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Dankeschön!! Ich habe es verstanden

Reicht das wenn ich das mit den Beispielen zeige, da ja zeigen Sie steht oder müsste ich dies dann allgemeiner formulieren ?

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Beispiele reichen nicht. Ein inverses Element wurde noch nicht ermittelt oder benutzt.

Dann geht der Rest routinemäßig.

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okeii danke.)

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interessehalber: Ermittle mal noch einen Wert und schicke mir den Beweis!

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Satz: In jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jedes Element genau einmal vor.

Bew: Andere Elemente als {0,1,2,3,4} können nicht vorkommen wegen der Abgeschlossenheit.

Ann: ein Element kommt mehr als einmal vor: ab=ac mit b≠c.

Dann mult. von links das inverse a' dran:

a'ab=ä'ac ⇒4b=4c ⇒b=c Widerspruch.

Die Aussage über die Spalte gilt wegen Komm.

q.e.d

Damit gilt: entweder 0*3=3 oder 0*3=4.

Weil es in einer Gruppe genau ein Nullelement gibt scheidet die erste Variante aus, also 0*3=4.

Alle übrigen Werte der Tafel ergeben sich dann.