Beweisaufgabe -Beschränktheit

Question

hey Leute ,

habe eine Beweisaufgabe zur Beschränkteit :

 Seien X,Y ⊂ ℝ beschränkte Mengen

Definiere -X := (-x ι x ∈ X) und X+Y := ( x+y ι x∈X und y∈Y)

zu beweisen ist :

a) -X ist beschränkt

b)  X + Y ist beschränkt

zu a ) zu zeigen ist also : ∃b,c ∈ ∀ x∈X :  b≤ -x≤ c

den Ansatz habe ich gemacht in dem ich erstmal sage, dass X beschränkt ist, das heißt :

X nach oben beschränkt ⇔ ∃ b,c ∈ K  ∀x∈X : b≤ x ≤ c.

Ist denn mein Ansatz bis hierhin richtig bzw. meine Idee ?

Ich brauche Hilfe und möchte das sehr gerne verstehen.

Answer 1

Ist denn mein Ansatz bis hierhin richtig bzw. meine Idee ?  Ja !

Du hast

X nach oben beschränkt ⇔ ∃ b,c ∈ K  ∀x∈X : b≤ x ≤ c.

Das "nach oben" muss weg.  Denn du hast ja, und das stand ja auch

in der Aufgabe obere UND untere Schranken.

Und dann multipliziere    b≤ x ≤ c  mit (-1 ) , das gibt

                                         -b ≥ -x ≥ -c

und du siehst:   -b und  -c sind obere bzw. untere Schranken für -X,

also ist -X auch beschränkt.

Comments

Aber ist denn x auch nicht gleichseitig nach unten beschränkt mit der Schreibweise x≤c ?

oder wie muss ich das dann aufschreiben formal?

Ich habe einen Fehler bei der Schreibweise oben in meiner Aufgabenstellung gemacht .

Es müsste lauten . X ist beschränkt : ∃ b,c ∈K ∀ x∈X : b ≤x ≤c .

Wäere es dann richtig ?

Ansonsten habe ich es verstanden vielen Dank!

---

Wäre es dann richtig ?   Ja !

Wenn du hast :  ∃c ∈ℝ   ∀ x∈X :  x≤ c

Dann hast du nur benutzt:  X ist nach oben beschränkt,

c also eine obere Schranke.