Wie vereinigt/schneidet man folgende Mengen?

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Sei } M=\{\{0,1,3\},\{0,2,3,5\},\{0,2,3\},\{0,3,4,5\}\} . \text { Bestimmen Sie jeweils die folgenden Mengen: }} \\ { \cap M \text { und } \cup M .} \\ { N=\left\{x \in 2^{\cup M} | \text { Für jedes } m \in M \text { gilt } x \subseteq m\right\}} \\ { \cup N}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Ich hätte für die ersten 3 Mengen folgendes gedacht:

  ∩M = {0, 3}

 ∪M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

 N = {1, 2, 4}

Bei ∪N weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wirklich, wie diese Menge aussehen soll.

Wäre dankbar für eine Erklärung und eventuelle Verbesserungen der ersten Mengen!

Comments

N ist eine Menge von Mengen so, dass jedes Element von N Teilmenge eines Elements von M ist.

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Bei ∪N weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wirklich, wie diese Menge aussehen soll.

Man bildet ∪N genauso, wie du ja richtig auch ∪M gebildet hast.
Dazu muss man natürlich erst mal N bestimmen, aber wie man sieht, bist du nicht der Einzige, der damit Schwierigkeiten hat.

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Ich verstehe die Angabe nicht. Was bedeuten die schwarzen Punkte?

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Die Punkte bedeuten nichts weiter, ist nur eine Auflistung der Mengen.

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Die Minus weiter unten vermutlich auch. Ich nehme die mal weg, damit sie nicht verwirren.

Answer 1

∩M und ∪M hast du korrekt bestimmt.

Die Elemente von N sind Elemente von 2^∪M. Das steht unmittelbar in der Definition von N. Die Menge 2^∪M ist die Potenzmenge von ∪M. Deren Element sind Teilmengen von ∪M. Die Menge N ist also eine Menge von Teilmengen von ∪M.

Welche Teilmengen von ∪M Elemente von N sind, steht rechts von dem "|". BTW, N hat 4 Elemente.

Comments

Ich verstehe ehrlich gesagt immer noch nicht wirklich, wie N demnach aussieht.

Etwa so?

N = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}}

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N = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}}

{1,2} ist nicht Teilmenge von {0, 1, 3}. Also ist {1,2} nicht Element von N.

Damit x Element von N ist, muss x Teilmenge von jedem m∈M sein.

Also

        x ∈ N ⇔ (x ⊆ {0,1,3} ∧ x ⊆ {0,2,3,5} ∧ x ⊆ {0,2,3} ∧ x ⊆ {0,3,4,5})

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Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, müsste N folgendermaßen lauten:

N = {{}, {0}, {3}, {0, 3}}

und folglich ∪N = {{}, 0, 3}

oder?

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Dein N ist jetzt richtig, aber ∪N = {0, 3}.

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Perfekt, vielen Dank!