Ich hab mir nun den ein oder anderen Beweis dazu angeschaut und in meiner Übungsgruppe auch schon 2 Dozenten gefragt von denen bekomme ich allerdings keine konkrete Antwort.
Warum ist das nicht ohne das Vollständigkeitsaxiom zu beweisen? Warum überhaupt Axiome(Informatiker)?
3.4.7 Satz - Die Menge ℝ ist überabzählbar
Beweis: Die Idee ist leicht zu verstehen. Für die Details müssen wir ein wenig vorgreifen, denn dies ist ohne das Vollständigkeitsaxiom nicht zu beweisen.
Die Idee ist, eine injektive Abbildung f: F → ℝ von der Menge {0,1}-Folgen F nach ℝ anzugeben. Hat man so ein f, so erhält man die Behauptung: Denn f: F → f(F) ist dann bijektiv, also ist mit F auch f(F) überabzählbar. Also hat ℝ eine überabzählbare Teilmenge (nämlich f(F)) und ist damit nach Satz 3.4.3(1) auch überabzählbar.
Definiere f wie folgt: zu \( a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \in F \) sei \( f(a)=0, a_{1} a_{2 \cdots} \), wobei dies als Dezimaldarstellung zu verstehen ist. Wie kann man das präzisieren, d.h. was bedeutet "Dezimaldarstellung"? Am einfachsten mittels der Reihe ("unendliche Summe").
$$ f(a)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} 10^{-n}=\frac{a_{1}}{10^{1}}+\frac{a_{2}}{10^{2}}+\ldots $$
deren Bedeutung in Kapitel 7 erklärt werden wird. Diese Reihe konvergiert, was hier einfach mit dem Majorantenkriterium, die Majorante ist die geometrische Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} 10^{-n} \), zu zeigen ist.
Es bleibt die Injektivität von f zu überprüfen. Intuitiv ist das klar. Zwei Zahlen mit verschiedenen Dezimaldarstellungen sind verschieden, oder? Nicht ganz, zum Beispiel 0,999... = 1. Hier geht aber trotzdem nichts schief, da nur Nullen und Einsen vorkommen.
Zu \( a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \) und \( b=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots\right) \) in \( F \) mit \( a \neq b \) sei \( i_{0} \) der kleinste Index mit \( a_{i_{0}} \neq b_{i_{0}} \).
Sei o. B.d. A. \( a_{i_{0}}=0 \) und \( b_{i_{0}}=1 \)
(Wertebereiche eingeschränkt von {0,...9} ⇒ {0,1})
(Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, andernsfalls vertauscht man die Rolle von a und b).
Dann gilt \( \quad f(a)=\quad 0, a_{1} \dots a_{i_{0}} a_{i_{0+1}} \cdots \quad \leq \quad 0, a_{1 \cdots} a_{i_{0}} 111 \ldots \quad< \quad 0, a_{1 \cdots} a_{i_{0}-1} b_{i_{0}} b_{i_{0+1} \cdots}=f(b) \)
denn per Wahl von \( i_{0} \) gilt \( a_{i}=b_{i} \) fur \( i<i_{0} . \) Weiter haben wir verwendet, dass \( 0,111\cdots <1 \) gilt, denn dies ergibt die letzte Ungleichung nach Multiplikation mit \( 10^{-i_0} \mathrm{und} \) Addition von \( 0, a_{1} \ldots a_{i 0} . \) Wie wir sehen werden, ist \( 0,111 \ldots=\frac{1}{9}, \) also kleiner als 1
