Was ist denn die Lösungsmenge der Funktion f(x)= (|x|-2)^2 =1?

Question

Die Frage steht in der Überschrift.

Mein Ansatz:

((x-2)² =1 ∨ (-x-2)² =1.

Lösungen der ersten Gleichung sind 3 und 1.

Lösungen der zweiten Gleichung sind -1 und -3.

Wie schreibe ich die Lösungsmenge und ist mein Ergebnis überhaupt richtig?

Vielen Dank.

Answer 1

\(  (|x|-2)^2 =1 \)

\(|x|-2=1\) oder \(|x|-2=-1\)

       \(|x|=3 \Rightarrow x=3 \text{ oder } x=-3\)

       \(|x|=1 \Rightarrow x=1 \text{ oder } x=-1\)

\(\Rightarrow \mathbb{L}=\{-3; -1; 1; 3\}\)

Da alle logischen Verknüpfungen Oder-Aussagen sind, sind alle vier Zahlen Lösungen. Außerdem hilft eine Probe mit Einsetzen aller Ergebnisse in die Ausgangsgleichung.

Answer 2

\(  (|x|-2)^2 =1  |±\sqrt{~~} \)

1.)

\(|x|-2 =1   \)

\(|x| =3  \)

\(\sqrt{x^2} =3 |^{2} \)

\(x^2=9 \)

\(x_1=3 \)

\(x_2=-3 \)

2.)

\(|x|-2 =-1  \)

\(|x| =1  \)

\(\sqrt{x^2} =1 |^{2} \)

x^2=1

\(x_3=1\)

\(x_4=-1\)

Proben, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

\(x_1=3 \)      \(  (3-2)^2 =1 \)✓

\(x_2=-3 \)       \(  (|-3|-2)^2 =1   \)       \(  (3-2)^2 =1 \)✓

\(x_3=1\)    \(  (|1|-2)^2 =1  \)   ✓

\(x_4=-1\)    \(  (|-1|-2)^2 =1  \)  ✓

Comments

Steht alles schon in der anderen Antwort, nur hast Du viel umständlicher gerechnet. Und die Frage gar nicht beantwortet.

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Ist das etwas Neues? Wenn es bereits Antworten gibt, kommen immer umständlichere Ansätze von seiner Seite.

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Ob das "immer" so ist, darüber wage ich keine Aussage (ist mir meine Zeit nicht wert, mich mit solchen Analysen zu beschäftigen).

Ich erlaube mir aber ggf. trotzdem solche Hinweise.