Gruppen - ganze Zahlen

Question

Es geht um diese Aufgabe hier :

Ist die folgende Aussage wahr: Für alle Elemente f,g einer Gruppe (G, ◦) und alle ganzen Zahlen n ∈ Z gilt die Gleichung: gⁿ ◦ fⁿ = (g ◦ f)ⁿ

Muss ich hier nur die Gruppenaxione anwenden um zu prüfen ob das stimmt?

Ich bedanke mich im voraus für die Hilfe.

LG :)

Answer 1

Aloha :)

Das kannst du durch vollständige Induktion beweisen. Zunächst für $n\ge0$:

Verankerung bei $n=0$:$$(g\cdot f)^n=(g\cdot f)^0=1=1\cdot1=g^0\cdot f^0=g^n\cdot f^n\quad\checkmark$$Induktionsschritt $n\to n+1$:$$(g\cdot f)^{n+1}=(g\cdot f)^n\cdot (g\cdot f)\stackrel{IV}{=}g^n\cdot f^n\cdot g\cdot f=g^n\cdot g\cdot f^n\cdot f=g^{n+1}\cdot f^{n+1}\quad\checkmark$$

Falls nun $n<0$ ist, können wir $m:=-n>0$ setzen und das obere Ergebnis nutzen:

$$g^n\cdot f^n=g^{-m}\cdot f^{-m}=(g^{-1})^m\cdot(f^{-1})^m=(g^{-1}\cdot f^{-1})^m$$$$\phantom{g^n\cdot f^n}=((g\cdot f)^{-1})^m=(g\cdot f)^{-m}=(g\cdot f)^n\quad\checkmark$$

Comments

Fehlt da nicht ein a. ?

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Verstehe ich dich falsch, oder täte es ein k... auch ?

Aber bei ...  käme dann natürlich auch ein a vor.  :-)

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Ich habe mich auch schon oft gefragt, warum nur Gruppen abelsch sein können, Ringe und Körper hingegen immer kommutativ.

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Ich habe vorausgesetzt, dass die Gruppe abelsch ist, denn wenn die Operation nicht kommutativ ist, gilt die Behauptung nicht:$$(xy)^2=(xy)(xy)= x(yx)y\ne x(xy)y=x^2y^2$$