Antwort mit KI erzeugt
Teil (a): Geben Sie zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f ≼ g\) an.
Um zwei Funktionen \(f\) und \(g\) anzugeben, für die \(f ≼ g\) gilt, müssen wir uns nur daran erinnern, dass die Bedingung für \(f ≼ g\) lautet, dass für alle \(x \in \mathbb{N}\), \(f(x) \le g(x)\) sein muss. Ein einfaches Beispiel hierfür wären die Funktionen \(f(x) = x\) und \(g(x) = x^2\).
- \(f(x) = x\)
- \(g(x) = x^2\)
Es lässt sich leicht überprüfen, dass \(f(x) \le g(x)\) für alle \(x \in \mathbb{N}\) gilt, da \(x^2\) ab \(x=1\) immer größer oder gleich \(x\) ist.
Teil (b): Geben Sie (paarweise verschiedene) Funktionen \(f_0\), \(f_1\), ... an, die eine echt aufsteigende Folge in ≼ bilden.
Eine Möglichkeit, eine Reihe von Funktionen \(f_0, f_1, \ldots\) anzugeben, die eine echt aufsteigende Folge bilden, ist:
- \(f_n(x) = nx\)
Hier bildet jede Funktion \(f_n\) eine lineare Funktion, wobei der Steigungsfaktor \(n\) ist. Für \(n < m\), ist immer \(f_n(x) < f_m(x)\) für alle \(x \in \mathbb{N}, x > 0\), da \(nx < mx\). Dies zeigt die echt aufsteigende Natur dieser Folge unter der gegebenen Halbordnung.
Teil (c): Geben Sie (paarweise verschiedene) Funktionen \(g_0\), \(g_1\), ... an, die eine echt absteigende Folge in ≼ bilden.
Eine echt absteigende Folge zu finden ist etwas trickreicher, da wir aus einer unendlichen Menge von Funktionen wählen und sicherstellen müssen, dass für jedes \(n\), \(g_n\) ''größer'' in Bezug auf die Halbordnung ist als \(g_{n+1}\). Ein Ansatz können die Polynomfunktionen mit abnehmender Potenz sein, aber da alle Funktionen streng natürlichwertig bleiben müssen und keine negative Werte annehmen dürfen, ist dieser Ansatz limitiert. Ein anderer, einfacherer Ansatz berücksichtigt Funktionen, die mit einer Konstanten abnehmen, ist jedoch schwierig in passender Weise zu konstruieren, da die Funktionen nur natürliche Zahlen enthalten dürfen und nicht negativ werden können.
Ein praktikabler Ansatz im natürlichen Zahlenbereich muss sicherstellen, dass jede Funktion in der Sequenz die Bedingung der Halbordnung erfüllt, dies findet typischerweise jedoch seine Anwendung in theoretischen Diskussionen zur Abwärtskompatibilität von beispielsweise Reihen zu zeigen, die auf einem bestimmten mathematischen Prinzip beruhen. Konkret wäre ein Beispiel:
- \(g_0(x) = 1/(x+1)\)
Jedoch ist diese Funktion nicht wohldefiniert in \(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) hinsichtlich aller Werte von \(x\), unterstreicht aber die Herausforderung, eine solche absteigende Sequenz zu konstruieren, wenn man bei natürlichen Zahlen bleibt und unter der gegebenen Halbordnung funktioniert. Eine wirklich absteigende Folge in \(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) unter dieser Halbordnung zu konstruieren, könnte unmöglich sein, da jede Funktion, die einen höheren Wert für ein gegebenes \(x\) hat, nicht durch eine 'kleinere' Funktion abgelöst werden kann, ohne die Kriterien der Halbordnung zu verletzen.
