Hat die Folge von Binomialkoeffizienten an:= (2n tief n ) einen Grenzwert?

Question

Gibt es einen Grenzwert zu

an=\( \begin{pmatrix} 2n\\n\\ \end{pmatrix} \) und wenn ja wie lautet er?

Hat die Folge von Binomialkoeffizienten an:= (2n tief n ) einen Grenzwert?

Comments

Läuft \(n\to \infty\)?

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Davon ist auszugehen.

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Für n → 0 ....    :-)

Answer 1

Aloha :)

\(\binom{2n}{n}\) ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Personengruppe von \(2n\) Leuten, z.B. aus \(n\) Frauen und \(n\) Männern, genau \(n\) auszuwählen. Das können also \(0\) Frauen und \(n\) Männer, oder \(1\) Frau und \(n-1\) Männer oder \(2\) Frauen und \(n-2\) Männer... sein. Formal bedeutet dies:

$$\binom{2n}{n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\binom{n}{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}^2\ge\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=(1+1)^n=2^n$$

Daher hat \(\binom{2n}{n}\) keinen Grenzwert, wächst mindestens so schnell wie \(2^n\).

Answer 2

Vermutlich gibt es keinen Grenzwert.

Wolframalpha:

\(\binom{500}{250}\approx1.167 \cdot 10^{149}\)

\(\binom{1000}{500}\approx  2.703   \cdot 10^{299}\)

Comments

Stimmt. (2n)! wächst schneller als (n!)^2.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+binom%282n%2C+n%29

Answer 3

mit dem Produktzeichen bin ich nie wirklich warm geworden, aber ich denke, dass folgende Umformungen stimmen sollten:$$\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\frac{\prod \limits_{k=1}^{2n}k}{\left(\prod \limits_{k=1}^{n}k\right)^2}=\frac{\prod \limits_{k=1}^{n}(2k-1)\prod \limits_{j=1}^{n}(2j)}{\left(\prod \limits_{k=1}^{n}k\right)\left(\prod \limits_{j=1}^{n}j\right)}$$ Du kannst ja mal überprüfen und weiter machen. Falls die Umformungen richtig sind, kannst du ja viel kürzen.

Answer 4

Die Binomialkoeffizienten sind bekanntermaßen natürliche Zahlen, und die Folge  \(\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}\) ist monoton wachsend ...