Distanzen zu Teilmengen

Question

bräuchte Hilfe für diese Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text {Sei } A \text { eine nichtleere Teilmenge eines normierten Raums }(V,\|\cdot\|) . \text { Sei die Abstandsfunktion }} \\ {\text {zu } A \text { definiert durch }}\end{array} \\ \begin{aligned} \operatorname{dist}_{A}: & V \longrightarrow[0, \infty) \\ x & \longmapsto \inf _{z \in A}\|x-z\| \end{aligned} \\ \begin{array}{l}{\text { Zeige: }} \\ {\text { (a) Für jeden Punkt } x \in V \text { gilt genau dann dist }_{A}(x)=0, \text { wenn } x \in \bar{A} \text { . }} \\ {\text { (b) Für alle } x, y \in V \text { gilt }\left|\operatorname{dist}_{A}(x)-\operatorname{dist}_{A}(y)\right| \leq\|x-y\| .}\end{array} $$

dist_A : V -> [0, ∞) bedeutet, das Elemente aus V auf das Intervall [0, ∞) abgebildet werden, richtig?

Aus der obigen Definition folgt die folgende Funktion: dist_A (x) = inf||x - z|| mit z ∈ A, korrekt? Also gibt mir die Funktion dist für jedes x den kleinsmöglichen Abstand zu einem Element aus A.

bei der Aufgabe a) muss ich ja zeigen, dass der kleinste Abstand nur dann 0 ist, wenn x ein Element des Abschlusses von A ist.

Darf ich hier beim Beweis direkt x ∈ ∂A fordern? Wobei ∂A der Rand vom Abschluss von A ist.

So würde ich beweisen:

"⇒"

$$ \text {Sei } x \in V \text { und } dist_A (x) = 0, \\ \text {dann gilt: } inf_{z\in A}|| x - z|| = 0 \Rightarrow x = z \Rightarrow x \in \overline{A}$$ kann ich das so machen?

Die Rückrichtig kann ich ja genau umgekehrt beweisen oder? Scheint mir alles zu einfach, deswegen frage ich hier. :D

b) $$ |dist_A(x) - dist_A(y)| = |inf_{z \in A}||x - z|| - inf_{z \in A}||y - z|| | $$

Aus der Dreiecksungleichung folgere ich:

$$|\inf_{z \in A}||x - z|| - \inf_{z \in A}||y - z||| = |\inf_{z \in A}||x -y +y- z|| - \inf_{z \in A}||y - z|| | \leq |\inf_{z \in A}||x -y|| +  \inf_{z \in A}||y- z|| - \\inf_{z \in A}||y - z|| |  = |\inf_{z \in A}||x -y|||  \leq ||x-y|| \text { mit } x,y \in A \text { beliebig} $$

passt das so?

Danke,

Bursol

Answer 1

dist_A : V -> [0, ∞) bedeutet, das Elemente aus V auf das Intervall [0, ∞) abgebildet werden, richtig?

Richtig.

Aus der obigen Definition folgt die folgende Funktion: dist_A (x) = inf||x - z|| mit z ∈ A, korrekt?

Funktionen folgen nicht. Aussagen folgen, und zwar aus anderen Aussagen.

Also gibt mir die Funktion dist für jedes x den kleinsmöglichen Abstand zu einem Element aus A.

Nein. Beispiel

         (V, ||·||) := (ℝ, |·|) und A := (3, ∞).

Dann ist dist_A(3) = 0 obwohl |3 - z| ≠ 0 für alle z ∈ A ist.

Darf ich hier beim Beweis direkt x ∈ ∂A fordern?

In Anbetracht der Tatsache, dass \(\overline{A}\) = A ∪ ∂A ist, wäre das ein Zirkelschluss. Eine Fallunterscheidung

        x ∈ \(\overline{A}\)

        x ∉ \(\overline{A}\)

ist aber denkbar. Der Fall x ∈ \(\overline{A}\) kann weiter unterteilt werden in x ∈ A (der trivial ist) und x ∈ ∂A.

kann ich das so machen?

Nein. Siehe dazu mein Beispiel.

Comments

Ok, dann würde ja fur denn Fall, dass A =(3, ∞) eine offene Menge ist gelten, dass x ∈ V und zugleich x ∈ A sein muss um dist = 0 zu gewährleisten... verstanden.

Kannst du mir eventuell zeigen wie ich die Beweisführung anfangen könnte?

---

dass x ∈ V und zugleich x ∈ A sein muss um dist = 0 zu gewährleisten

Eben nicht. Weil A in dem Beispiel nicht abgeschlossen ist und 3 zum Rand von A gehört und 3 nicht zu A gehört, ist dist_A(3) = 0 obwohl 3 ∉A.

Kannst du mir eventuell zeigen wie ich die Beweisführung anfangen könnte?

Sei x ∈V.

Fall 1: x∈A.

Dann ist dist_A(x) = 0 wegen ||x-x|| = 0.

Fall 2: x∈∂A\A

Zeige, dass dist_A(x) = 0 ist.

Fall 3: x ∈ V \ (∂A∪A)

Zeige, dass dist_A(x) > 0 ist.