Polynome finde mit gewissen Eigenschaften

Question

(1) Seien \(P = 2x^5-x^3-2x^2-3x+6\) und \(Q = 2x^3+x-2 \in \mathbb{R}\left[x\right]\).

Finden Sie Polynome \(R,\:T \in \mathbb{R}\left[x\right]\) so, dass \(\textrm{Grad}(R)<\textrm{Grad}(Q)\) ist und \(P = TQ+R\) gilt.

 

(2) Seien \(P = x^3+2x^2-x-1\) und \(Q = x^2+x-3 \in \mathbb{Q}\left[x\right]\).

Finden Sie Polynome \(S,\:T \in \mathbb{Q}\left[x\right]\) mit der Eigenschaft \(SP+TQ=1\).

_{(Edit: Textformatierung und Formelsatz zwecks besserer Lesbarkeit leicht überarbeitet.)}

Answer 1

Finden Sie Polynome R, T ∈R[x] so, dass Grad (R)<Grad(Q) ist und P= TQ+R gilt.
Seien P =x³+2x²−x−1 und Q=x²+x−3∈Q[x]

Wie wäre es mit T(x)=x und R(x)=x²+2x+1?    

Comments

Es handelt sich um zwei Aufgaben!

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Das hättest du vielleicht kenntlich machen sollen?

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So, ist der Starttext jetzt besser lesbar?

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Wie wäre es mit \(T(x)=x\) und \(R(x)=x^2+2x+1\)?

das widerspricht der Forderung von \(\text{Grad}(R) \lt \text{Grad}(Q) = 2\).

Answer 2

... hier ist Hardcore Polynom Division angesagt ;-)

Finden Sie Polynome \(R,T \in \mathbb{R}[x]\) so dass \(\text{Grad}(R) \lt \text{Grad}(Q)\) ist und \(P=TQ+R\) gilt.

aus der Gleichung folgt unmittelbar \(P\div Q = T + R \div Q\). Und da \(\text{Grad}(R) \lt \text{Grad}(Q)\), kann \(R\) nur der Rest nach der Polynomdivision von \(P \div Q\) sein. Also$$(2x^5-x^3-2x^2-3x+6) \div (2x^3+x-2 ) = x^2-1 + \frac{4-2x}{2x^3+x-2 } \\ \implies R = 4-2x, \quad T = x^2-1$$

Finden Sie Polynome \(S,T \in \mathbb{Q}[x]\) mit der Eigenschaft \(SP+TQ=1\).

Findet man mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus. Man stellt sich die entsprechende Tabelle auf: $$\begin{array}{c|c|c|c|c} P& Q& P \div Q& S& T\\ \hline x^3+2x^2-x-1& x^2+x-3& x+1& -x+1& x^2 \\ x^2+x-3& x+2& x-1& 1& -x + 1\\ x+2& -1& -x-2& 0& 1\\ -1& 0& & 1& 0 \end{array}$$wie die Tabelle gefüllt wird, ist hier beschrieben. Und da in der letzten Zeile \(P_3 \cdot S_3 = -1\) ist, teilt man die Polynome noch durch \(-1\) und erhält: $$(x-1) \cdot P + (-x^2) \cdot Q = 1$$ Gruß Werner