Aufgabe:
Sei D={z∈ℂ | |Im(z)| < 1} und f: D→ℂ eine analytische Funktion, die \(\lim\limits_{z\to\infty} \) f(z) = 0 erfüllt und für die das Integral \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x)dx existiert. Zeigen Sie für α ∈ (-1,1):
\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x+iα)dx = \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x)dx
Folgern Sie daraus:
\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) exp(-x²)*cos(αx)dx = \( \sqrt{π} \)*exp(-α²/4)
Problem/Ansatz:
Für die erste Gleichung habe ich versucht, x+iα durch z zu substituieren. Da iα Konstanten sind, würden sich die Differentiale nicht ändern und die Integralgrenzen bleiben gleicht, weil ∞ + konst. = ∞ bleibt.
Mein Problem ist vor allem der zweite Teil. Das Integral und auch die Lösung hat gewisse Ähnlichkeiten mit dem Gauß-Integral, aber einfach x=x+iα zu setzen und auszurechnen hat zu nichts geführt.
Im
