51% der Menschen in Berlin sind weiblich.

Question

Aufgabe:

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 100 zufällig ausgewählten Lebenden in Berlin höchstens 45 von denen weiblich sind.

Problem/Ansatz:

w=51% m=49% in Berlin

Answer 1

Binomialverteilung

P(X <= 45) = ∑ (x = 0 bis 45) ((100 über x)·0.51^x·0.49^(100 - x)) = 0.1356

Answer 2

P(X<=45) = ∑(k=0 bis45) 0.51^k*0,49^(100-k) = 0,135608792583

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Answer 3

Aloha :)

Der Erwartungswert für weiblich ist: \(\overline x=n\cdot p=100\cdot\frac{51}{100}=51\).

Die Standardabweichung ist: \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{100\cdot\frac{51}{100}\cdot\frac{49}{100}}=\sqrt{24,99}\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich nun mit Hilfe der Standardnormalverteilung \(\Theta\) bestimmen:$$P(X<45)=\Theta\left(\frac{45+0,5-\overline x}{\sigma}\right)=\Theta(-1,10022)=13,56\%$$

Comments

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich nun mit Hilfe der Standardnormalverteilung Θ bestimmen:

Nein, Das ist ein Notnagel, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit anzunähern.

(Dass die Näherung recht gut passt, ist nicht dein Verdienst.)

---

Bei der exakten Lösung muss man 46 Binomialkoeffizienten ausrechnen, Einzelwahrscheinlichkeiten potenzieren, multiplizieren und am Ende noch alles addieren. Genau um solche Mammut-Rechnungen zu vermeiden, kann man die Binomialverteilung duruch die Normalverteilung annähern. Eine wichtige Bedingung dafür ist, dass die Varianz \(\ge 9\) sein sollte. (Hier ist sie 24,99).

Falls du dich näher darüber informieren möchtest:

https://de.wikipedia.org/wiki/Normal-Approximation

---

Zu deiner Information. Vorletzte Woche wurde ein Gerät namen "Taschenrechner" erfunden. Damit berechnet man die Summe von vielen Werten mit einer einzigen Zeile:

Σ(100 nCr X *0,51^X*0,49^(100-X),X,0,46)

(Immerhin hast du dich nach der Kritik genötigt gesehen, die erforderliche Bedingung für die praktische Sinnhaftigkeit deines Näherungsverfahrens nachzuliefern.)