Letzten zwei Stellen von 98^10 berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die letzten zwei Stellen von \( 98^{10} \) mit Papier und Bleistift.

Hinweis: Ist \( n \in \mathbb{N} \) eine natürliche Zahl, so lässt sich deren letzte Stelle \( s_{1} \in\{0, \ldots, 9\} \) als die eindeutige Lösung der Gleichung \( \left(s_{1} \equiv n \text { mod } 10\right) \wedge\left(0 \leq s_{1} \leq 9\right) \) berechnen. Analog findet man die letzten zwei Stellen \( s_{2} \in\{00,01, \ldots, 99\} \) als die eindeutige Lösung von \( \left(s_{2} \equiv n \bmod 100\right) \wedge\left(0 \leq s_{2} \leq 99\right) \)

Problem/Ansatz:

kann mir jemand sagen ob das soweit richtig ist?

s₂ ≡ 98¹⁰ mod 100

s₂ ≡ 98 * 9604⁵ mod 100

    ≡ 98 * 9604 * 9604⁴ mod 100

    ≡ 98 * 9604 * 1² mod 100

    ≡ 941192 mod 100

    = 92

letzen zwei Ziffern: 92

Comments

Am einfachsten ist, die Rechenregel für modulo anzuwenden:

$$ 98^{10} \equiv (-2)^{10} \equiv 1024 \equiv 24~\textrm{mod}~(100) $$

Answer 1

Der Ansatz an sich ist korrekt.

Es gilt s₂ ≡ 98^10 mod 100
Allerdings ist 98^10 = 81707280688754689024.
Wenn du diesen Wert durch 100 teilst (Was du in dem Fall dieser Aufgabe schriftlich machen sollst.), kommt dort 817072806887546890 mit dem Rest 24 heraus.

Nun sollst du wegen der Kongruenz einen wert s₂ finden, der durch 100 geteilt auch den Rest 24 hat. Dabei gilt außerdem s₂ ∈ {00,01,02,...,97,98,99}. 
Somit ist die einzige Zahl, die für s₂ in Frage kommt die 24.

Das sind damit die letzen beiden Stellen von 98^10, was man ja an dem ausgerechneten Wert auch erkennen kann.


Eine einfachere Methode das zu sehen, falls nicht schriftliche Division gefordert ist wäre:

Wenn du eine Zahl (Bsp. 98^10) durch 100 teilst, kannst du das Komma einfach um 2 Stellen nach links verschieben.
Hier also: 817072806887546890,24.
Die Stellen hinter dem Komma sind damit der Rest, der übrig bleibt.
Von hier aus geht die Überlegung gleich weiter, wie im oberen Beispiel.


LG

Comments

Aber wie bist auf 98¹⁰ = 81707280688754689024 gekommen?

Selbst mit dem Taschenrechner erhalte ich nicht solch große Zahlen.

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Habe diesen Rechner verwendet:

https://web2.0rechner.de/

(Das ist zwar nicht schriftlich, aber ich mir fällt kein einfacher schriftlicher weg ein 98^10 auszurechnen ^^')

Answer 2

ohne modulo Schreibweise:

98¹⁰=(100-2)¹⁰=nach der 10. Zeile des Pascalschen Dreieecks, das man nicht hinschreiben muss

= 100¹⁰ - ... -Faktor*100*2⁹ + 2¹⁰ = in allen Summanden außer dem letzten steckt der Faktor 100, hat also mit den letzten beiden Stellen des Endergebnisses nichts zu tun = egal + 2¹⁰=egal + 1024 = ... 24

Mit modulo Schreibweise:

s₂≡98¹⁰ mod 100

s₂≡(100-2)¹⁰ mod 100

s₂≡2¹⁰ mod 100

s₂≡1024 mod 100

s²≡24 mod 100