Stetigkeit von stückweise definierten Funktionen

Question

Aufgabe:

b) Geben Sie eine quadratische Funktion $q: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ an (eine Funktion genügt, Sie brauchen nicht alle Möglichkeiten zu finden), so dass $$f:(0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(t)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{q(t)}{t^{2}+3 t-18}} & {\text { wenn } t \neq 3} \\ {2} & {\text { wenn } t=3} \end{array}\right.$$

stetig bei 3 ist. Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Definition von Stetigkeit.

Answer 1

Aloha :)

Wegen $t^2+3t-18=(t+6)(t-3)$ kannst du die Funktion auch wie folgt schreiben:

$$f(t) = \begin{cases} \frac{q(t)}{(t+6)(t-3)}\quad;\quad t\ne3\\2\quad\quad\quad\;\quad;\quad t=3 \end{cases}$$

Wenn $f(t)$ bei $t=3$ stetig sein soll, müssen wir die Definitionslücke bei $t=3$ [Division druch 0] stetig beheben können. Dafür muss der Zähler $q(t)$ durch $(t-3)$ teilbar sein. Da weiter $q(t)$ quadratisch sein soll, haben wir als Form:$$q(t)=a(t-b)\cdot(t-3)\quad;\quad a\ne0$$

Mit diesem $q(t)$ lautet dann der Fall $t\ne3$:$$\frac{q(t)}{(t+6)(t-3)}=\frac{a(t-b)\cdot(t-3)}{(t+6)(t-3)}=\frac{a(t-b)}{t+6}$$

Speziell an der Stelle $t=3$ muss dieser Term den Wert $2$ haben, weil $f(3)=2$ als Fall fest vorgegeben ist:$$\frac{a(3-b)}{3+6}\stackrel{!}{=}2\quad\Leftrightarrow\quad a(3-b)=18$$Laut Aufgabenstellung reicht es aus, eine Funktion $q(t)$ anzugeben, daher wählen wir z.B. $b=0$ und $a=6$ aus:$$q(t)=6t(t-3)$$

Comments

Schöne Vorgehensweise, völlig ohne L'Hospital!

Answer 2

Es soll $\lim\limits_{t\to 3}\frac{q(t)}{t^2+3t-18}\overset{(*)}=\lim\limits_{t\to 3}\frac{q'(t)}{2t+3}=\frac{q'(3)}{9}\overset{!}=2$ gelten.

Daraus folgen die Bedingungen $q(3)=0$ und $q'(3)=18$.

Wähle $q(t)=at^2+b$ als Ansatz und erhalte $q(t)=3t^2-27$.

In $(*)$ verwende ich den Satz von L'Hospital für $\frac{0}{0}$.

Comments

Q(t) muss aber quadratisch sein?

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Oh, das hatte ich überlesen. Einen Moment.

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Das war doch die richtige Antwort von Ihnen ?

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Eine Lösung ist $3t^2-27=q(t)$.

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ist diese Aufgabe auch nach dem selben Schema zu lösen?

Aufgabe 2: Für welche $k \in \mathbb{R}$ ist die Funktion

$$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {k x} & {\text { wenn } x \leq 1} \\ {x^{2}+3} & {\text { wenn } x>1} \end{array}\right.$$
bei 1 stetig? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Definition von Stetigkeit.
and

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Hier musst du den linksseitgen Grenzwert gegen 1 betrachten. An der Nahstelle $x=1$ muss rechts- mit dem linksseitigen Grenzwert übersteinstimmen.

Ferner kenne ich die Definition von Stetigkeit nicht, die ihr anwendet. Ich vermute $\varepsilon$-$\delta$-Definition?

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Die Definition lautet

f: R —> R stetig bei 1, wenn lim x—> 1 = f(1) gilt.

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Ja, dann so wie ich es gesagt habe. Fragen bitte separat stellen.

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Der links und rechtsseitige Limes ist nur bei x²+ 3 gleich?

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Bitte Fragen nicht in den Kommentaren stellen und beantworten. Tanne07 stellt die Fragen häufig mehrfach.