Lineare Abbildung beweisen mit modulo

Question

Aufgabe:

a) Es sei p ein Primzahl. Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : Zp  ----- > Zp
f(x) = x hoch p     mod p

eine lineare Abbildung ist.

b) Es seien U; V;W   IR-Vektorräume und f : U  ---->V und g : V → W zwei lineare Abbildungen.
Zeigen Sie, dass die Abbildung g  o  f mit g o f(u) = g(f(u)) für u aus U linear ist.

Problem/Ansatz:

a)

additivität:

f(a*v) = a *f(v)

(a*v )hoch p  mod p = a * (v hoch p  mod p)

(a*v )hoch p  mod p= av hochp   mod p       ist also richtig

homogenität:

f(v+w)=f(v)+f(w)

(v+w)hoch p mod p = v hoch p mod p + w hoch p  mod p

(v+w)hoch p mod p  = (v hoch p+w hoch p) mod p  (mod p ausgeklammert)    ist nicht richtig

 also keine lineare Abbildung

ist meine lösung richtig?

b) teil b habe ich gar nicht verstanden ,kann mir jemand bitte dabei helfen?  

Answer 1

Keine Ahnung, was du bei der a) verzapft hast.
Du hast auf jeden Fall schonmal Homogenität und Additivität vertauscht.
Unfug.

Zur b):
Das ist im Prinzip nur ein Einsetzen und Umformen:

Additivität:
zz. g o f(u + v) = g o f(u) + g o f(v)

g o f(u+v) = g(f(u+v)) = g(f(u) + f(v))
= g(f(u)) + g(f(v))
= g o f(u) + g o f(v)  q.e.d

Homogenität:
zz. g o f(d * u) = d * g o f(u)

g o f(d * u) = g(f(d * u)) = g(d  * f(u))
= d * g(f(u))
= d * g o f(u)  q.e.d

Gruß Hetzerich