Zeigen Sie, dass die Abbildung linear ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}{x-y} \\ {x+y} \\ {y}\end{array}\right) \)

 eine lineare Abbildung ist,

hat jemand eine Idee wie man schrittweise vorgehen soll?

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung \(f\) geht nicht von \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4\), sondern von \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\). Oder hast du vielleicht eine Komponente vergessen?

Additivität:$$f\left[\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right)\right]=f\left[\left(\begin{array}{c}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}x_1+x_2-y_1-y_2\\x_1+x_2+y_1+y_2\\y_1+y_2\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}x_1-y_1\\x_1+y_1\\y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x_2-y_2\\x_2+y_2\\y_2\end{array}\right)=f\left[\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right)\right]+f\left[\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right)\right]$$
Homogenität:$$f\left[a\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\right]=f\left[\left(\begin{array}{c}ax\\ay\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}ax-ay\\ax+ay\\ay\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}x-y\\x+y\\y\end{array}\right)=af\left[\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\right]$$

Comments

Text erkannt:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}{x} \\ {x-y} \\ {x+y} \\ {y}\end{array}\right) \)

Answer 2

zeige

$$ f(\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=f\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}  $$

und

$$ f(a*\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=a*f\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}  $$